[obm-l] Prove that 22/7 pi.
Sauda,c~oes, Achei esta mensagem interessante. Um abraço, Luís From: Nikolaos Dergiades [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [EMHL] Prove that 22/7 pi Date: Sun, 19 Mar 2006 22:33:33 +0200 Dear friends, M. T. ZED wrote: Prove that 22/7 pi. Help me please. We have 4/(x^2+1) = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - x^4(1-x)^4/(x^2+1) or in the interval ( 0, 1) 4/(x^2+1) x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 and by integration from 0 to 1 we get pi 22/7. Does anybody knows a geometric or a simpler proof? Best regards Nikos Dergiades Escreva x^4(1-x)^4 = x^4(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) . Agora some e subtraia termos para obter múltiplos de x^2 +1: x^8 - 4x^7 + 6x^6 - 4x^5 + x^4 = x^8 + 6x^6 + x^4 - 4x^5(x^2 + 1) = (x^6-4x^5)(x^2 + 1) + 5x^6 + x^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4)(x^2+1) - 4x^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2)(x^2 + 1) + 4x^2 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4)(x^2 + 1) - 4 Transpondo e dividindo por x^2 + 1, vem: 4/(x^2+1) = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - x^4(1-x)^4/(x^2+1) qed = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prove that 22/7 pi.
Boa tarde22/7 é a *famosa* aproximação usada por Arquimedes para \pi.Além da maneira exposta, pode-se obter esse resultado usando fatos absolutamente elementares de frações contínuas (ou continuadas como parece que alguns modernosos gostam de chamar), uma vez que 22/7 aparece naturalmente ao expandir \pi em frações contínuas (é a segunda reduzida). Mais detalhes podem ser obtidos no livroContinued fractions de Beskin, N., Editora Mir (coleção Little math. library)Esse livro é muito bom e elementar, totalmente acessível a estudantes do segundo grau. (deve haver alguma trradução horrorosa para castelhano ou, uma pior ainda, para português)Manuel GarciaOn 3/21/06, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote:Sauda,c~oes,Achei esta mensagem interessante. Um abraço,LuísFrom: Nikolaos Dergiades [EMAIL PROTECTED]Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: RE: [EMHL] Prove that 22/7 piDate: Sun, 19 Mar 2006 22:33:33 +0200Dear friends,M. T. ZED wrote: Prove that 22/7 pi. Help me please.We have4/(x^2+1) = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - x^4(1-x)^4/(x^2+1)or in the interval ( 0, 1)4/(x^2+1) x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4and by integration from 0 to 1 we get pi 22/7. Does anybody knows a geometric or a simpler proof?Best regardsNikos DergiadesEscrevax^4(1-x)^4 = x^4(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) .Agora some e subtraia termos para obter múltiplos de x^2 +1: x^8 - 4x^7 + 6x^6 - 4x^5 + x^4 = x^8 + 6x^6 + x^4 - 4x^5(x^2 + 1)= (x^6-4x^5)(x^2 + 1) + 5x^6 + x^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4)(x^2+1) - 4x^4= (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2)(x^2 + 1) + 4x^2= (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4)(x^2 + 1) - 4 Transpondo e dividindo por x^2 + 1, vem:4/(x^2+1) = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - x^4(1-x)^4/(x^2+1)qed=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Prove that 22/7 pi.
Tem uma outra muito boa pi = 355/113. - Original Message - From: Manuel Garcia To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:37 PM Subject: Re: [obm-l] Prove that 22/7 pi. Boa tarde22/7 é a *famosa* aproximação usada por Arquimedes para \pi.Além da maneira exposta, pode-se obter esse resultado usando fatos absolutamente elementares de frações contínuas (ou "continuadas" como parece que alguns modernosos gostam de chamar), uma vez que 22/7 aparece naturalmente ao expandir \pi em frações contínuas (é a segunda reduzida). Mais detalhes podem ser obtidos no livro"Continued fractions" de Beskin, N., Editora Mir (coleção Little math. library)Esse livro é muito bom e elementar, totalmente acessível a estudantes do segundo grau. (deve haver alguma trradução horrorosa para castelhano ou, uma pior ainda, para português)Manuel Garcia On 3/21/06, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes,Achei esta mensagem interessante. Um abraço,LuísFrom: "Nikolaos Dergiades" [EMAIL PROTECTED]Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: RE: [EMHL] Prove that 22/7 piDate: Sun, 19 Mar 2006 22:33:33 +0200Dear friends,M. T. ZED wrote: Prove that 22/7 pi. Help me please.We have4/(x^2+1) = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - x^4(1-x)^4/(x^2+1)or in the interval ( 0, 1)4/(x^2+1) x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4and by integration from 0 to 1 we get pi 22/7. Does anybody knows a geometric or a simpler proof?Best regardsNikos DergiadesEscrevax^4(1-x)^4 = x^4(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) .Agora some e subtraia termos para obter múltiplos de x^2 +1: x^8 - 4x^7 + 6x^6 - 4x^5 + x^4 = x^8 + 6x^6 + x^4 - 4x^5(x^2 + 1)= (x^6-4x^5)(x^2 + 1) + 5x^6 + x^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4)(x^2+1) - 4x^4= (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2)(x^2 + 1) + 4x^2= (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4)(x^2 + 1) - 4 Transpondo e dividindo por x^2 + 1, vem:4/(x^2+1) = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - x^4(1-x)^4/(x^2+1)qed=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
