[obm-l] Re: [obm-l] Questões interessantes (na minha opinião)
2013/3/1 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com: 1) suponhamos que exista uma função f tal que, para todo real x, tenhamos f(f(x)) = ax^2 + bx + c, a não nulo, b e c reais. Mostre que (b +1)(b - 3) = 4ac. Esse eu ainda tenho que pensar com cuidado. A primeira coisa é reduzir a g(g(x)) = x^2 + c, mas eu ainda não sei fazer o caso c 0. 2) seja (a_n) uma sequência de reais e (p_n) uma sequência de pesos positivos. Seja (s_n) a sequência das médias ponderadas de (a_n) com relação os pesos p_n. Mostre que, se Soma p_n divergir, então liminf s_n = liminf a_n = limsup a_n = limsup s_n É bem fácil mostrar que, se Soma p_n convergir, as desigualadas da direita e da esquerda não têm que valer. Curioso... Eu diria que s_n é uma combinação convexa dos a_n, logo s_N = min(a_n, n=1..N) e portanto min(s_N, N=1..k) = min(min(a_n, n=1..N), N=1..k) = min(a_n, n=1..k). Claro que tem que fazer do outro lado (no infinito, não no 1) mas eu diria que liminf a_n = liminf s_n. Mais tarde tento enviar uma prova dessa soma de Césaro. 3) Seja f uma função definida em um intervalo I de R (suponhamos aberto, para facilitar) e com valores em R. Suponhamos que, em cada ponto de I, as 4 derivadas de Dini de f existam e sejam finitas. Mostre que existe um subintervalo de I no qual f é Lipschitz. Isto é mais fácil de mostrar se supusermos diferenciabilidade cheia em todo o I. Mas, de fato, basta a existência das 4 derivadas de Dini. Diferenciabilidade cheia = full differentiability = diferenciável no sentido usual ? (Nunca fiz nada com derivadas de Dini) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões interessantes (na minha opinião)
Para o caso da condição de Lipschitz, supondo que f seja diferenciável em I, me ocorreu uma vez o seguinte 1) f' é, conforme se sabe, o limite de uma sequência de funções contínuas. 2) Como R é um espaço de Baire, para toda sequência g_n de funções contínuas em um intervalo I que convirja para uma função g, existe um subintervalo no qual as g_n são uniformemente limitadas por algum M 0. Logo, g é limitada por M neste subintervalo. 3) de (2) segue-se haver um subintervalo de I no qual f' é limitada por algum M 0. Logo, neste subintervalo f' é Lipschitz e M é uma constante da condição de Lipschitz. Uma vez eu mostrei esta prova para algumas pessoas e não gostaram. Paciência, não se pode agradar a todos. No caso, não agradei ninguém. Alguns disseram que estava errado, porque sabidamente diferenciabilidade não implica que a função seja localmente Lipschitz. Mas a condição que eu citei não é ser localmente Lipschitz, é mais fraca do que isso. Depois vim a saber que para, haver o subintervalo em que f seja Lipschitz, basta que em cada ponto de I as 4 derivadas de Dini de f sejam finitas. Me enrolei nesta prova, mas acho que tenho uma por contradição. Aliás, nos complexos há uma conclusão interessante. Se f é inteira, então f é Lipschitz em todo conjunto limitado do plano complexo. Abraços Artur Costa Steiner Em 02/03/2013, às 17:50, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2013/3/1 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com: 1) suponhamos que exista uma função f tal que, para todo real x, tenhamos f(f(x)) = ax^2 + bx + c, a não nulo, b e c reais. Mostre que (b +1)(b - 3) = 4ac. Esse eu ainda tenho que pensar com cuidado. A primeira coisa é reduzir a g(g(x)) = x^2 + c, mas eu ainda não sei fazer o caso c 0. 2) seja (a_n) uma sequência de reais e (p_n) uma sequência de pesos positivos. Seja (s_n) a sequência das médias ponderadas de (a_n) com relação os pesos p_n. Mostre que, se Soma p_n divergir, então liminf s_n = liminf a_n = limsup a_n = limsup s_n É bem fácil mostrar que, se Soma p_n convergir, as desigualadas da direita e da esquerda não têm que valer. Curioso... Eu diria que s_n é uma combinação convexa dos a_n, logo s_N = min(a_n, n=1..N) e portanto min(s_N, N=1..k) = min(min(a_n, n=1..N), N=1..k) = min(a_n, n=1..k). Claro que tem que fazer do outro lado (no infinito, não no 1) mas eu diria que liminf a_n = liminf s_n. Mais tarde tento enviar uma prova dessa soma de Césaro. 3) Seja f uma função definida em um intervalo I de R (suponhamos aberto, para facilitar) e com valores em R. Suponhamos que, em cada ponto de I, as 4 derivadas de Dini de f existam e sejam finitas. Mostre que existe um subintervalo de I no qual f é Lipschitz. Isto é mais fácil de mostrar se supusermos diferenciabilidade cheia em todo o I. Mas, de fato, basta a existência das 4 derivadas de Dini. Diferenciabilidade cheia = full differentiability = diferenciável no sentido usual ? (Nunca fiz nada com derivadas de Dini) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Questões interessantes (na minha opinião)
Eu acho estes dois aqui interessantes. O primeiro acho que já enviei para a lista, ma não houve comentários. Tive muita dificuldade. O segundo também acho interessante. 1) suponhamos que exista uma função f tal que, para todo real x, tenhamos f(f(x)) = ax^2 + bx + c, a não nulo, b e c reais. Mostre que (b +1)(b - 3) = 4ac. 2) seja (a_n) uma sequência de reais e (p_n) uma sequência de pesos positivos. Seja (s_n) a sequência das médias ponderadas de (a_n) com relação os pesos p_n. Mostre que, se Soma p_n divergir, então liminf s_n = liminf a_n = limsup a_n = limsup s_n É bem fácil mostrar que, se Soma p_n convergir, as desigualadas da direita e da esquerda não têm que valer. A desigualdade do meio vale, é claro, para qualquer sequência de reais. E eu também acho este interessante e pouco conhecido. Tive uma boa dificuldade. 3) Seja f uma função definida em um intervalo I de R (suponhamos aberto, para facilitar) e com valores em R. Suponhamos que, em cada ponto de I, as 4 derivadas de Dini de f existam e sejam finitas. Mostre que existe um subintervalo de I no qual f é Lipschitz. Isto é mais fácil de mostrar se supusermos diferenciabilidade cheia em todo o I. Mas, de fato, basta a existência das 4 derivadas de Dini. Abraco a todos Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] QUESTÕES INTERESSANTES
Olá caros colegas da lista, seguem algumas questões que considero muito interessantes, para quem quiser se distrair um pouco nessas férias: (1) Seja A uma matriz 2x2 com entradas inteiras. Mostre que A tem inversa com entradas ingteiras se, e somente se, det(A) = + - 1 . ( Uma das implicações é trivial. ) (2) Um triângulo equilátero, inscrito numa circunferência de centro na origem do sistema cartesiano, tem o número complexoz= sqrt(3) + i como um de seus vértices. Determine os outros. (3) Uma equação quadrática com coeficientes primos pode ter raiz real dupla? (4) Sejam a , bnúmeros naturais. Mostre que (3^a + 3^b + 1 ) nunca é um quadrado perfeito. (5) Seja p 5 um número primo. Neste caso 1/p , o recíproco de p , tem por representação decimal uma dízima periódica. Indiquemos por T(p) o número de algarismos que constituem o período. (a) Mostre que existe um único primo p tal que T(p) = 2 . (b) Mostre que T(p) é o menor número natural n tal que: n | (p-1) e p | R_n , em que R_n = ...1 ( n dígitos 1 ) . Obs: a | b quandob é múltiplo de a , isto é, existe q inteiro tal que b = a . q . (6) Mostre que se a , b, c são inteiros ímpares então a eq. ax^2+bx+c=0 não tem raiz racional. ( Proposto por Eduardo Wagner no 1o encontro da RPM. ) Até a próxima. Frederico. From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Duvida sobre polinomios Date: Wed, 09 Jul 2003 11:08:23 -0300 Sim, desde que o polinômio divisor não seja nulo. Existe um resultado, análogo ao Lema da Divisão de Euclides para nos inteiros, que garante que dados polinõmios f(x), g(x) , g(x) 0, com coeficientes num corpo K ( em particular se K= R = conjunto dos numeros reais ) então existem e são únicos q(x) e r(x) com coeficientes em K de tal forma que f(x) = g(x) X q(x) + r(x) e r(x) =0 ougrau(r) gr(g) . A demonstração desse fato é, normalmente, obtida através de indução matemática. Você pode obtê-la, por exemplo, em [1]GONÇALVES, Adilson - Introdução Á Álgebra - Projeto Euclides - SBM/IMPA. [2] DOMINGUES, Hygino H. , IEZZI, Gelson - Álgebra Moderna- Atual Editora. Observe ainda que a hipótese de que os polinômios tenham coeficientes num corpo ( anel comutativo com elemento neutro do produto e no qual todo elemento não -nulo tenha inverso, ufa!!! ) é absolutamente essencial. SE dividirmos F(x)= x+1 por G(x) = 2 , olhando-os como polinômios a coef. inteiros, não obteremos um quociente com esta propriedade. Frederico. From: leonardo mattos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Duvida sobre polinomios Date: Wed, 09 Jul 2003 12:05:03 + Gostaria de saber se ao dividirmos um polinomio P(x) com todos os seus coeficientes pertencentes aos reais por um polinomio Q(x) tambem com todos os seus coeficientes pertencentes aos reais o o resto da divisao tem que ser necessariamente um polinomio de coeficientes reais. Se nao gostaria de ver um exemplo pelo menos. Leonardo _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÕES INTERESSANTES
Oi Frederico, Gostei das questões! =P (1)( = ) Suponha A e A^(-1) com entradas inteiras. Então detA e detA^(-1) são inteiros. Mas como detA.detA^(-1)= 1, devemos ter detA= +-1. ( = ) Ora, se A= (a b), então A^(-1)= 1/detA.(d -b), e assim (c d) (-c a) como detA= +-1, segue que A^(-1) tem entradas inteiras. (2) Se vc tem um complexo z= a+ bi, então a rotação de z sobre a origem de um ângulo A é obtido multiplicando z por cisA= cosA + i.senA. Logo os outros dois vértices do triângulo são: (sqrt(3)+ i)cis(120º) e (sqrt(3)+ i)cis(240º). (3) Temos raiz real dupla se e só se delta= 0 = b^2= 4ac. Daí sendo b primo, temos b= 2, e assim 2^2= 4ac = 1= ac. Logo a, c não podem ser primos. (4) Basta analisar módulo 8. Os quadrados só deixam resto 0, 1 e 4 (módulo 8), Mas 3^x= 1 (mod 8) se x é par e 3^x= 3 (mod 8) se x é ímpar. Logo 3^a+ 3^b+ 1 só pode deixar resto 1+ 1+ 1= 3 (mod 8) 1+ 3+ 1= 5 (mod 8) 3+ 3+ 1= 7 (mod 8) Assim, 3^a+ 3^b+ 1 nunca pode ser um quadrado perfeito. (5) Se 1/p= a_0,a_1...a_i b_1...b_T(p) b_1...b_T(p)..., então 10^i.(1/p)=a_0 a_1...a_i,b_1..b_T(p) b_1..b_T(p).. 10^(i+T(p))(1/p)=a_0 a_1..a_ib_1..b_T(p),b_1..b_T(p)... Daí, (10^(i+T(p))-10^i).(1/p)=k, onde k é inteiro. Logo: (10^i)(10^(T(p))- 1)= p.k Como p é maior do que 5, temos (p, 10^i)= 1, donde p|(10^T(p)- 1) = 10^(T(p))= 1 (mod p) (*) (a) Se T(p)=2, então p|10^2- 1= 99 = p= 3 ou p= 11. Como p5, temos que p=11. (b) Continuando de (*), temos ord10(mod p)|T(p). Mas é fácil fazer o mesmo que fizemos acima voltando para concluir que ord10(mod p)= T(p). Daí, T(p)|(p-1), pois 10^(p- 1)= 1 (mod p), Além disso, R(n)= 111= 1+ 10+ ...+ 10^(n- 1)= (10^n- 1)/9. Logo p|R(n) = p|(10^n- 1)/9 = p|(10^n- 1) = 10^n= 1 (mod p), e o valor mínimo de n satisfazendo essa ultima congruencia é ord10(mod p)= T(p). (6) Se a parábola tivesse raizes racionais, deveriamos ter delta= x^2, com x inteiro. Daí: b^2- 4.ac= x^2 = x ímpar Então b^2= x^2= 1 (mod 8), de modo que 8|(b^2- x^2) = 8|4ac, absurdo, já que a, c são impares. Ateh mais, Yuri Mensagem original -- Olá caros colegas da lista, seguem algumas questões que considero muito interessantes, para quem quiser se distrair um pouco nessas férias: (1) Seja A uma matriz 2x2 com entradas inteiras. Mostre que A tem inversa com entradas ingteiras se, e somente se, det(A) = + - 1 . ( Uma das implicações é trivial. ) (2) Um triângulo equilátero, inscrito numa circunferência de centro na origem do sistema cartesiano, tem o número complexoz= sqrt(3) + i como um de seus vértices. Determine os outros. (3) Uma equação quadrática com coeficientes primos pode ter raiz real dupla? (4) Sejam a , bnúmeros naturais. Mostre que (3^a + 3^b + 1 ) nunca é um quadrado perfeito. (5) Seja p 5 um número primo. Neste caso 1/p , o recíproco de p , tem por representação decimal uma dízima periódica. Indiquemos por T(p) o número de algarismos que constituem o período. (a) Mostre que existe um único primo p tal que T(p) = 2 . (b) Mostre que T(p) é o menor número natural n tal que: n | (p-1) e p | R_n , em que R_n = ...1 ( n dígitos 1 ) . Obs: a | b quandob é múltiplo de a , isto é, existe q inteiro tal que b = a . q . (6) Mostre que se a , b, c são inteiros ímpares então a eq. ax^2+bx+c=0 não tem raiz racional. ( Proposto por Eduardo Wagner no 1o encontro da RPM. ) Até a próxima. Frederico. From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Duvida sobre polinomios Date: Wed, 09 Jul 2003 11:08:23 -0300 Sim, desde que o polinômio divisor não seja nulo. Existe um resultado, análogo ao Lema da Divisão de Euclides para nos inteiros, que garante que dados polinõmios f(x), g(x) , g(x) 0, com coeficientes num corpo K ( em particular se K= R = conjunto dos numeros reais ) então existem e são únicos q(x) e r(x) com coeficientes em K de tal forma que f(x) = g(x) X q(x) + r(x) e r(x) =0 ougrau(r) gr(g) . A demonstração desse fato é, normalmente, obtida através de indução matemática. Você pode obtê-la, por exemplo, em [1]GONÇALVES, Adilson - Introdução Á Álgebra - Projeto Euclides - SBM/IMPA. [2] DOMINGUES, Hygino H. , IEZZI, Gelson - Álgebra Moderna- Atual Editora. Observe ainda que a hipótese de que os polinômios tenham coeficientes num corpo ( anel comutativo com elemento neutro do produto e no qual todo elemento não -nulo tenha inverso, ufa!!! ) é absolutamente essencial. SE dividirmos F(x)= x+1 por G(x) = 2 , olhando-os como polinômios a coef. inteiros, não obteremos um quociente com esta propriedade. Frederico. From: leonardo mattos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Duvida sobre polinomios Date: Wed, 09 Jul 2003 12:05:03 + Gostaria
