[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm -l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões de Combinatória. (ajuda)
Tudo bem, isso acontece. Espero ter ajudado tb. Abrcs From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões de Combinatória. (ajuda) Date: Sun, 26 Apr 2009 10:17:09 -0300 Obrigado Rafael e Jordan, foi uma completa falta de desatenção mesmo, acho que eu estava com pressa indo para o show do cézar menotti e fabiano que nem percebi os erros (só pra você ver na q.4, contei a solução 2^6.3^6 e não contei 2^6 nem 3^6). Desculpe pelos erros Vinícius, não vai acontecer de novo. Abraço From: rafael.a...@gmail.com Date: Sat, 25 Apr 2009 13:42:05 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões de Combinatória. (ajuda) To: obm-l@mat.puc-rio.br Existem mais possibilidades a serem removidas na questão 4... Sabemos que se um número é, simultaneamente, um quadrado perfeito e um cubo perfeito, então ele é uma sexta potência. Logo, basta remover todas as sextas potências de 1 a 100=10^6, ou seja, remover 10: Então temos: 1000 + 100 - 10 = 1090. Como o problema pergunta quantos números NÃO são quadrados nem cubos, a resposta é 100-1090 = 998910. 2009/4/24 Joao Maldonado Ola Vinícius, aí vai... 1.) O número não vai começar com 0 e o número deve começar com 53, 54, 56, 57, 6 ou 7. 53, 54, 56 ou 57 -> 4.6!/3! 6 ou 7 -> 2.7!/3! Total = 6.5.4.(4+2.7) = 120.18 = 2160 possibilidades. 2.) 6! = 720 posibilidades (porém nesse resultado o mesmo cubo pode ser encontrado de 6 maneiras somente fazendo uma rotação de um outro cubo), caso contrário seriam 6!/6 = 5! = 120 possibilidades 3.) a) n! b) Caso a minha interpretação esteja correta como voxê colocou a conjunção "e" ao invés da "ou" no final da frase, não poderia acontecer as 3 coisas SIMULTANEAMENTE, ou seja, o primeiro lugar ser o número 1, o segundo o número 2 e o terceiro o número 4 é uma possibilidade válida. Consequentementeteríamos (n-3)! possibilidades da corrida terminar com 1-2-3, assim a resposta é: n! - (n-3)! 4.) Esse quatro é mais legalzinho. OK, quadrado perfeito: 1² = 1 e 1000² = 100 -> Teremos 1000 quadrados perfeitos. cubos perfeitos -> 1³ = 1 e 100³ = 100 -> Teremos 100 cubos perfeitos. Toda quarta potência é um quadrado então consequentemente podemos ignorar esta opção. Temos que tirar os casos em que x² = y³ -> ou seja, x = a1^6k.a2^6k...an^6k e y = b1^6k.b2^6k...bn^6k para todo ai e bi primos (além da solução x=1). Temos no máximo x ou y produto das potências de 2 primos pois 2^6.3^6.5^6 > 100 Temos k = 1 pois: 2^12.3^12 > 100 Possibilidades: (1) ; 2^6.3^6 = (46656) ; 2^6.5^6 = (100) Total = 1000 + 100 - 3 = 1097 possiblidades. Abraço, João --- Em sex, 24/4/09, Vinícius escreveu: De: Vinícius Assunto: [obm-l] Questões de Combinatória. (ajuda) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 24 de Abril de 2009, 16:21 1. Quantos números inteiros de cinco algarismos distintos e maiores do que 53.000 podemser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? 2. De quantos modos se pode pintar um cubo, usando seis cores fixas distintas, sendo cada face de uma cor? 3. Em uma corrida há n participantes. Antes de a corrida começar, cada participante recebeum número entre 1 e n.a) De quantas maneiras diferentes os participantes podem terminar a corrida? b) De quantas maneiras o 1o lugar NÃO é o participante número 1, o 2o lugar NÃO é oparticipante número 2 e o 3o lugar NÃO é o participante número 3? 4. Quantos inteiros entre 1 e 100, inclusive, não são quadrados perfeitos, nem cubos perfeitos,nem quartas potências perfeitas? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes -- Rafael Quer saber qual produto Windows Live combina melhor com o seu perfil? Clique aqui e descubra! _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br
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Existem mais possibilidades a serem removidas na questão 4... Sabemos que se um número é, simultaneamente, um quadrado perfeito e um cubo perfeito, então ele é uma sexta potência. Logo, basta remover todas as sextas potências de 1 a 100=10^6, ou seja, remover 10: Então temos: 1000 + 100 - 10 = 1090. Como o problema pergunta quantos números NÃO são quadrados nem cubos, a resposta é 100-1090 = 998910. 2009/4/24 Joao Maldonado > Ola Vinícius, aí vai... > > 1.) O número não vai começar com 0 e o número deve começar com 53, 54, 56, > 57, 6 ou 7. > 53, 54, 56 ou 57 -> 4.6!/3! > 6 ou 7 -> 2.7!/3! > Total = 6.5.4.(4+2.7) = 120.18 = 2160 possibilidades. > > 2.) 6! = 720 posibilidades (porém nesse resultado o mesmo cubo pode ser > encontrado de 6 maneiras somente fazendo uma rotação de um outro cubo), caso > contrário seriam 6!/6 = 5! = 120 possibilidades > > 3.) a) n! > b) Caso a minha interpretação esteja correta como voxê colocou a conjunção > "e" ao invés da "ou" no final da frase, não poderia acontecer as 3 coisas > SIMULTANEAMENTE, ou seja, o primeiro lugar ser o número 1, o segundo o > número 2 e o terceiro o número 4 é uma possibilidade válida. > Consequentementeteríamos (n-3)! possibilidades da corrida terminar com > 1-2-3, assim a resposta é: n! - (n-3)! > > 4.) Esse quatro é mais legalzinho. > OK, quadrado perfeito: 1² = 1 e 1000² = 100 -> Teremos 1000 quadrados > perfeitos. > cubos perfeitos -> 1³ = 1 e 100³ = 100 -> Teremos 100 cubos perfeitos. > Toda quarta potência é um quadrado então consequentemente podemos ignorar > esta opção. Temos que tirar os casos em que x² = y³ -> ou seja, x = > a1^6k.a2^6k...an^6k e y = b1^6k.b2^6k...bn^6k para todo ai e bi primos (além > da solução x=1). > Temos no máximo x ou y produto das potências de 2 primos pois 2^6.3^6.5^6 > > 100 > Temos k = 1 pois: 2^12.3^12 > 100 > Possibilidades: (1) ; 2^6.3^6 = (46656) ; 2^6.5^6 = (100) > Total = 1000 + 100 - 3 = 1097 possiblidades. > > Abraço, > > João > > --- Em *sex, 24/4/09, Vinícius * escreveu: > > > De: Vinícius > Assunto: [obm-l] Questões de Combinatória. (ajuda) > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Data: Sexta-feira, 24 de Abril de 2009, 16:21 > > > 1. Quantos números inteiros de cinco algarismos distintos e maiores do que > 53.000 podem > ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? > > 2. De quantos modos se pode pintar um cubo, usando seis cores fixas > distintas, sendo cada > face de uma cor? > > 3. Em uma corrida há n participantes. Antes de a corrida começar, cada > participante recebe > um número entre 1 e n. > a) De quantas maneiras diferentes os participantes podem terminar a > corrida? > b) De quantas maneiras o 1o lugar NÃO é o participante número 1, o 2o lugar > NÃO é o > participante número 2 e o 3o lugar NÃO é o participante número 3? > > 4. Quantos inteiros entre 1 e 100, inclusive, não são quadrados > perfeitos, nem cubos > perfeitos,nem quartas potências perfeitas? > > > -- > Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top > 10<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/>- > Celebridades<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/>- > Música<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/>- > Esportes<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/> > -- Rafael
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Ola Vinícius, aí vai... 1.) O número não vai começar com 0 e o número deve começar com 53, 54, 56, 57, 6 ou 7. 53, 54, 56 ou 57 -> 4.6!/3! 6 ou 7 -> 2.7!/3! Total = 6.5.4.(4+2.7) = 120.18 = 2160 possibilidades. 2.) 6! = 720 posibilidades (porém nesse resultado o mesmo cubo pode ser encontrado de 6 maneiras somente fazendo uma rotação de um outro cubo), caso contrário seriam 6!/6 = 5! = 120 possibilidades 3.) a) n! b) Caso a minha interpretação esteja correta como voxê colocou a conjunção "e" ao invés da "ou" no final da frase, não poderia acontecer as 3 coisas SIMULTANEAMENTE, ou seja, o primeiro lugar ser o número 1, o segundo o número 2 e o terceiro o número 4 é uma possibilidade válida. Consequentementeteríamos (n-3)! possibilidades da corrida terminar com 1-2-3, assim a resposta é: n! - (n-3)! 4.) Esse quatro é mais legalzinho. OK, quadrado perfeito: 1² = 1 e 1000² = 100 -> Teremos 1000 quadrados perfeitos. cubos perfeitos -> 1³ = 1 e 100³ = 100 -> Teremos 100 cubos perfeitos. Toda quarta potência é um quadrado então consequentemente podemos ignorar esta opção. Temos que tirar os casos em que x² = y³ -> ou seja, x = a1^6k.a2^6k...an^6k e y = b1^6k.b2^6k...bn^6k para todo ai e bi primos (além da solução x=1). Temos no máximo x ou y produto das potências de 2 primos pois 2^6.3^6.5^6 > 100 Temos k = 1 pois: 2^12.3^12 > 100 Possibilidades: (1) ; 2^6.3^6 = (46656) ; 2^6.5^6 = (100) Total = 1000 + 100 - 3 = 1097 possiblidades. Abraço, João --- Em sex, 24/4/09, Vinícius escreveu: De: Vinícius Assunto: [obm-l] Questões de Combinatória. (ajuda) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 24 de Abril de 2009, 16:21 1. Quantos números inteiros de cinco algarismos distintos e maiores do que 53.000 podemser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? 2. De quantos modos se pode pintar um cubo, usando seis cores fixas distintas, sendo cada face de uma cor? 3. Em uma corrida há n participantes. Antes de a corrida começar, cada participante recebeum número entre 1 e n.a) De quantas maneiras diferentes os participantes podem terminar a corrida? b) De quantas maneiras o 1o lugar NÃO é o participante número 1, o 2o lugar NÃO é oparticipante número 2 e o 3o lugar NÃO é o participante número 3? 4. Quantos inteiros entre 1 e 100, inclusive, não são quadrados perfeitos, nem cubos perfeitos,nem quartas potências perfeitas? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
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1. Quantos números inteiros de cinco algarismos distintos e maiores do que 53.000 podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? 2. De quantos modos se pode pintar um cubo, usando seis cores fixas distintas, sendo cada face de uma cor? 3. Em uma corrida há n participantes. Antes de a corrida começar, cada participante recebe um número entre 1 e n. a) De quantas maneiras diferentes os participantes podem terminar a corrida? b) De quantas maneiras o 1o lugar NÃO é o participante número 1, o 2o lugar NÃO é o participante número 2 e o 3o lugar NÃO é o participante número 3? 4. Quantos inteiros entre 1 e 100, inclusive, não são quadrados perfeitos, nem cubos perfeitos,nem quartas potências perfeitas?