[obm-l] Questões de Teoria dos Números (Livro do Plínio)

[Sérgio Farias]

Olá.   Estou tendo dificuldade com algumas questões do livro Introdução à Teoria dos Números do Plínio, editado pelo IMPA.Eis as questões:- "Provar que não existe n pertencente aos naturais tal que 7 divida(4n^2 - 3).  - "Mostrar que 3 é o único primo p tal que p, p+2 e p+4 são todos primos"  - "Mostrar que se b divide c, então MDC (a + c, b) = MDC (a, b)"Desde já agradeço.Cordialmente,  Sérgio Farias.
		 
Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

Re: [obm-l] Questões de Teoria dos Números (Livro do Plínio)

[Bruno França dos Reis]

Oi, Sergio
Aqui vão uns rabiscos das questões.

1)
n^2 mod 7 só pode assumir os valores 0, 1, 2 e 4, (veja que uma classe
completa de residuos modulo 7 é -3,-2,-1,0,1,2,3, e que se vc elevar os
membros ao quadrado, sobram só os positivos, então pra determinar as
possibilidades de n^2 mod 7 basta ver o valor de 0^2, 1^2, 2^2 e 3^2
mod 7) então 4n^2 só pode assumir 0, 1, 2, 4 também, e 4n^2 - 3,
portanto, não pode assumir nunca o valor 0, o que implica que 7 não
divide nenhum número da forma 4n^2 - 3.

2)
Pra esse aqui, veja que para 2 não dá, para 3 dá, e assuma que p é um
primo maior que 3. Então veja que, tomando QUALQUER inteiro (nao
precisa ser primo), OU n, OU n+2 OU n+4 (sendo estes ou's exclusivos,
isto é, a veracidade de um implica a falsidade dos outros 2, e
necessariamente há um verdadeiro) é um multiplo de 3. Isso também vale
para os primos maiores que 3.

3)
Seja c = kb. Sejam m = MDC(a, b) e a = mu, b = mv, com MDC(u,v)=1. Temos:
a + c = mu + kb = mu + kmv = m(u + kv)
MDC(a+b,c) = MDC(m(u+kv),mv) = m*MDC(u+kv,v)
Mas u+kv e v são primos entre si (por quê? use o fato de que u e v são primos entre si, e veja o que acontece modulo v).
Então MDC(u+kv,v) = 1 == MDC(a+b,c) = m = MDC(a,b)

AbraçoOn 1/5/06, Sérgio Farias [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá.   Estou tendo dificuldade com algumas questões do livro Introdução à Teoria dos Números do Plínio, editado pelo IMPA.Eis as questões:- Provar que não existe n pertencente aos naturais tal que 7 divida(4n^2 - 3).
  - Mostrar que 3 é o único primo p tal que p, p+2 e p+4 são todos primos  - Mostrar que se b divide c, então MDC (a + c, b) = MDC (a, b)Desde já agradeço.
Cordialmente,  Sérgio Farias.
		 
Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: 
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] Questões de Teoria dos Números (Livro do Plínio)

[Sérgio Farias]

Primeiramente, meus sinceros agradecimentos.Algumas dúvidas:  1) O que vem a ser 'n^2 mod 7'? Nunca vi nada parecido com isso e tenho  certeza absoluta que o Plínio, pelo menos até agora (estou no capt 1),  não deu a definição e suas repectivas propriedades.2) "Então veja que, tomando QUALQUER inteiro (nao  precisa ser primo), OU n, OU n+2 OU n+4 (sendo estes ou's exclusivos,  isto é, a veracidade de um implica a falsidade dos outros 2, e  necessariamente há um verdadeiro) é um multiplo de 3"Gostaria de saber como provar que estes ou's são exclusivos e que nescessariamente há um verdadeiro.3)  Como provar que (u + kv, v) = 1?  "(por quê? use o fato de que u e v são primos entre si, e veja o que acontece modulo v)."  Tudo bem, MDC (u,v) =1. Não compreendi esta sua frase: "veja o que acontece modulo v"Do resto, tudo compreendi.Cordialmente,  Sérgio Farias.Bruno
 França dos Reis [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Oi, Sergio  Aqui vão uns rabiscos das questões.1)  n^2 mod 7 só pode assumir os valores 0, 1, 2 e 4, (veja que uma classe  completa de residuos modulo 7 é -3,-2,-1,0,1,2,3, e que se vc elevar os  membros ao quadrado, sobram só os positivos, então pra determinar as  possibilidades de n^2 mod 7 basta ver o valor de 0^2, 1^2, 2^2 e 3^2  mod 7) então 4n^2 só pode assumir 0, 1, 2, 4 também, e 4n^2 - 3,  portanto, não pode assumir nunca o valor 0, o que implica que 7 não  divide nenhum número da forma 4n^2 - 3.2)  Pra esse aqui, veja que para 2 não dá, para 3 dá, e assuma que p é um  primo maior que 3. Então veja que, tomando QUALQUER inteiro (nao  precisa ser primo), OU n, OU n+2 OU n+4 (sendo estes ou's exclusivos,  isto é, a veracidade de um implica a falsidade dos outros!
 2, e 
 necessariamente há um verdadeiro) é um multiplo de 3. Isso também vale  para os primos maiores que 3.3)  Seja c = kb. Sejam m = MDC(a, b) e a = mu, b = mv, com MDC(u,v)=1. Temos:  a + c = mu + kb = mu + kmv = m(u + kv)  MDC(a+b,c) = MDC(m(u+kv),mv) = m*MDC(u+kv,v)  Mas u+kv e v são primos entre si (por quê? use o fato de que u e v são primos entre si, e veja o que acontece modulo v).  Então MDC(u+kv,v) = 1 == MDC(a+b,c) = m = MDC(a,b)AbraçoOn 1/5/06, Sérgio Farias [EMAIL PROTECTED] wrote:  Olá.   Estou tendo dificuldade com algumas questões do livro Introdução à Teoria dos Números do Plínio, editado pelo IMPA.   
 Eis as questões:- "Provar que não existe n pertencente aos naturais tal que 7 divida(4n^2 - 3).- "Mostrar que 3 é o único primo p tal que p, p+2 e p+4 são todos primos"  - "Mostrar que se b divide c, então MDC (a + c, b) = MDC (a, b)"Desde já agradeço.  Cordialmente,  Sérgio Farias.   Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key:  
 http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0  
		 
Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

Re: [obm-l] Questões de Teoria dos Números (Livro do Plínio)

[wellnet5]

Valeu Diego, tô vendo que estás estudando,mas valeu mesmo pela resoluçao, estava com dúvidas.Até fevereiro nas aulas.Estuda garoto.

Atenciosamente wellington
-Original Message-From: diego andres [EMAIL PROTECTED]To: obm-l@mat.puc-rio.brSent: Thu, 5 Jan 2006 14:10:53 + (GMT)Subject: Re: [obm-l] Questões de Teoria dos Números (Livro do Plínio)



1-eh soh considerar n=7k,7k+1,7k+2,7k+3,7k+4,7k+5,7k+6 e sair testando:
7k eh congruente a 0 mod 7, 4(7k)^2-3 eh congruo a -3mod 77k+1 eh congruente a1 mod 7, 4(7k+1)^2-3 eh congruo a 1mod 77k+2 eh congruente a2 mod 7, 4(7k+2)^2-3 eh congruo a -1mod 7
7k+3 eh congruente a3 mod 7, 4(7k+3)^2-3 eh congruo a 5mod 7
assim voce termina o resto.
2-se p,p+2e p+4 sao primos observe que isso esta da forma: a,a+b,a+2b.
que eh um sistema deresiduo completo modulo 3,todos os elementos tem de ser impares,pois uma vez um par implica em todos pares,que eh impossivel,pois so existe um primo par(2)logo:
analise ele como residuos moldulo15 e voce verá que a unica opcao eh: 
15k+3,15k+5,15k+7
assim os unico possiveis eh 3,5,7.
3-se "b" divide "c" entao c=bk vamos supor MDC(a,b)=d entao MDC(a+c,b)pela definicao sera o maximo divisor que dividirá ambos "a" e "c" e como "b" divide "c" o limiar está em "a" logo MDC(a+c,b)=d=MDC(a,b).
Diego Andrés.
Sérgio Farias [EMAIL PROTECTED] escreveu:

Olá. 
Estou tendo dificuldade com algumas questões do livro Introdução à Teoria dos Números do Plínio, editado pelo IMPA.

Eis as questões:

- "Provar que não existe n pertencente aos naturais tal que 7 divida(4n^2 - 3).
- "Mostrar que 3 é o único primo p tal que p, p+2 e p+4 são todos primos"
- "Mostrar que se b divide c, então MDC (a + c, b) = MDC (a, b)"

Desde já agradeço.

Cordialmente,
Sérgio Farias.


Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.



Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. 



Try the New Netscape Mail Today!
Virtually Spam-Free | More Storage | Import Your Contact Listhttp://mail.netscape.com