[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
Olá!
A Fórmula de De Moivre é decorrente da Fórmula de Euler:
e^(ix) = cis(x)
Lado esquerdo = Lado direito
Fazendo: x = A/n
Lado esquerdo: e^(iA/n) = (e^(iA))^(1/n)
Sabe-se que: e^(iA) = cis(A) ... Fórmula de Euler
Logo: (e^(iA))^(1/n) = (cis(A))^(1/n)
Lado direito: cis(A/n)
Logo: (cis(A))^(1/n) = cis(A/n)
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
Date: Fri, 4 Feb 2011 21:15:21 -0200
Peimeirament, obrigado pela solução =D
Nunca tinha ouvido falar dessa fórmula de De Moivre, achei muito interessante
cis(A)^n = cis(n.A), Há algum jeito fácil de provar isso?
[]'s
João
From: bousk...@msn.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
Date: Thu, 3 Feb 2011 20:23:53 -0200
Escrevendo de forma mais elegante:
Olá!
Você deve usar a Fórmula de De Moivre:
[ r (cos(A) + i sin(A) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cos((A+2kpi)/n) + i sin((A+2kpi)/n)
] , k=0, 1 ... (n-1)
[ r (cis(A)) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cis((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
Então:
x = 1^(1/7)
Escrevendo 1 na forma polar: 1 = 1 [ cos(0) + i sin(0) ]
1 = 1 cis(0)
Logo: 1^(1/7) = 1^(1/7) [ cos((0+2kpi)/7) + i sin((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6
1^(1/7) = 1^(1/7) [ cis((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6
Simplificando: 1^(1/7) = cos(2kpi/7) + i sin(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
1^(1/7) = cis(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
Daí: x = { 1, cos(2pi/7) + i sin(2pi/7), cos(4pi/7) + i sin(4pi/7), cos(6pi/7)
+ i sin(6pi/7), cos(8pi/7) + i sin(8pi/7), cos(10pi/7) + i sin(10pi/7),
cos(12pi/7) + i sin(12pi/7) }
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de
João Maldonado
Enviada em: 3 de fevereiro de 2011 19:00
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Equação de sétimo grau
Há algum jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos
complexos?
[]'s
João
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
nunca tentei provar de nenhum jeito elementar... sempre usei que e^ix = cis(x) mas talvez indução resolva : ) cis(x)^1 = cis(1x) assumindo cis(x)^n = cis(nx), podemos começar multiplicando dos dois lados por cis(x), e aí vai dar: cis(x)^n * cis(x) = cis(x) * cis(nx) cis(x)^(n+1) = [ cos(x) + i sen(x) ]*[ cos(nx) + i*sen(nx) ] cis(x)^(n+1) = [ cos(x)*cos(nx) - sen(x)*sen(nx) ] + i*[ cos(x)*sen(nx) + cos(nx)*sen(x) ] as expressões dentro de cada colchetes são as expansões do cossendo da soma cos(x+nx) e do seno da soma sen(x+nx). cis(x)^(n+1) = cos(x+nx) + i*sen(x+nx) = cis(x+nx) = cis((n+1)x) pronto! pra quem não sabe, demonstração por indução é um método que se usa quando se quer demonstrar que uma certa propriedade vale pra todos os números naturais. Nesse caso, por exemplo, queremos mostrar que, qualquer que seja o número natural n, vale a fórmula cis(x)^n=cis(nx). O método consiste em mostrar que se a propriedade valer para algum número natural n, então ela também vale para o seu sucessor, n+1. Aí, basta só mostrar que vale para n=1, e então segue que vale para n=2, e portanto vale também para n=3, etc, etc. abraço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
Utilizando a fórmula de Euler¹ sai facilmente, não?
[1]: e^(ix) = cis (x)
2011/2/4 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:
Peimeirament, obrigado pela solução =D
Nunca tinha ouvido falar dessa fórmula de De Moivre, achei muito
interessante
cis(A)^n = cis(n.A), Há algum jeito fácil de provar isso?
[]'s
João
From: bousk...@msn.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
Date: Thu, 3 Feb 2011 20:23:53 -0200
Escrevendo de forma mais elegante:
Olá!
Você deve usar a Fórmula de De Moivre:
[ r (cos(A) + i sin(A) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cos((A+2kpi)/n) + i
sin((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
[ r (cis(A)) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cis((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
Então:
x = 1^(1/7)
Escrevendo 1 na forma polar: 1 = 1 [ cos(0) + i sin(0) ]
1 = 1 cis(0)
Logo: 1^(1/7) = 1^(1/7) [ cos((0+2kpi)/7) + i sin((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ...
6
1^(1/7) = 1^(1/7) [ cis((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6
Simplificando: 1^(1/7) = cos(2kpi/7) + i sin(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
1^(1/7) = cis(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
Daí: x = { 1, cos(2pi/7) + i sin(2pi/7), cos(4pi/7) + i sin(4pi/7),
cos(6pi/7) + i sin(6pi/7), cos(8pi/7) + i sin(8pi/7), cos(10pi/7) + i
sin(10pi/7), cos(12pi/7) + i sin(12pi/7) }
Albert Bouskela
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de João Maldonado
Enviada em: 3 de fevereiro de 2011 19:00
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Equação de sétimo grau
Há algum jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos
complexos?
[]'s
João
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
Olá!
Sim, pela Fórmula de Euler chega-se à Fórmula de De Moivre (está em uma das
minhas mensagens para essa Lista). Entretanto, o melhor é ver a
interpretação geométrica, no Plano de Argand, da Fórmula de Moivre. Eu a
enviei para o João Maldonado.
João, você recebeu um arquivo PDF, no qual eu lhe mostrei a interpretação
geométrica da Fórmula de Moivre?
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
-Mensagem original-
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em
nome de Alessandro Andrioni
Enviada em: 4 de fevereiro de 2011 23:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo
grau
Utilizando a fórmula de Euler¹ sai facilmente, não?
[1]: e^(ix) = cis (x)
2011/2/4 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:
Peimeirament, obrigado pela solução =D
Nunca tinha ouvido falar dessa fórmula de De Moivre, achei muito
interessante
cis(A)^n = cis(n.A), Há algum jeito fácil de provar isso?
[]'s
João
From: bousk...@msn.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau
Date: Thu, 3 Feb 2011 20:23:53 -0200
Escrevendo de forma mais elegante:
Olá!
Você deve usar a Fórmula de De Moivre:
[ r (cos(A) + i sin(A) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cos((A+2kpi)/n) + i
sin((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
[ r (cis(A)) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cis((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
Então:
x = 1^(1/7)
Escrevendo 1 na forma polar: 1 = 1 [ cos(0) + i sin(0) ]
1 = 1 cis(0)
Logo: 1^(1/7) = 1^(1/7) [ cos((0+2kpi)/7) + i sin((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1
...
6
1^(1/7) = 1^(1/7) [ cis((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6
Simplificando: 1^(1/7) = cos(2kpi/7) + i sin(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
1^(1/7) = cis(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
Daí: x = { 1, cos(2pi/7) + i sin(2pi/7), cos(4pi/7) + i sin(4pi/7),
cos(6pi/7) + i sin(6pi/7), cos(8pi/7) + i sin(8pi/7), cos(10pi/7) + i
sin(10pi/7), cos(12pi/7) + i sin(12pi/7) }
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]
Em nome
de João Maldonado
Enviada em: 3 de fevereiro de 2011 19:00
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Equação de sétimo grau
Há algum jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos
complexos?
[]'s
João
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