Caro Luís Lopes,
Tem a solução dessa prova no site do rumo_ao_ita fornecida pelo Colegio
ETAPA
(eu deveria ter colocado a fonte na mensagem anterior - obrigado por me
lembrar).
Abraco,
sergio
2013/7/1 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com
Sauda,c~oes, oi Sergio,
No google triangle construction given H_a,W_a,O aparecem outras
soluções e comentários.
Qual a fonte da sua construção ?
Abs,
Luis
--
Date: Mon, 1 Jul 2013 09:58:53 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica
(triângulos) ITA 1989
From: sergi...@smt.ufrj.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Caros,
Complementando entao a resposta do Luís Lopes,
aqui vai a solução do problema:
ANÁLISE DO PROBLEMA:
Seja M a projeção de O na reta suporte de DH.
Supondo a solução do problema conhecida,
seja M´ a interseção de OM com a circunferência circunscrita.
Por uma análise angular simples é possível concluir que
AOM' = (A + 2B) [ou (A + 2C)], de modo que OAM' = OM'A = (C-B)/2
[ou (B-C)/2]. Assim, AM' é a própria bissetriz interna do ângulo A
no triângulo desejado ABC, e, por isso mesmo, D pertence a AM'.
No triângulo AOM', com OA = OM', seja P1
a altura do vértice O relativa ao lado AM'. Assim, temos duas propriedades
que nos permitem determinar o ponto P1:
(i) Como AOM' é isósceles, OP1 é perpendicular a AM' (e a AD).
Assim, OP1D = 90 graus, de modo que P1 pertence à circunferência de
diâmetro OD.
(ii) Como AOM' é isósceles, P1 é o ponto médio de AM'. Como OM' é paralela
a AH (ambas são perpendiculares à reta suporte de DH), P1
pertence à reta paralela a essas duas retas (OM' e AH) passando pelo ponto
médio
de HM.
CONSTRUÇÂO
(i) trace a circunferência C1 de centro O1 e raio OO1, onde O1 é o ponto
médio de OD,
determinando a interseção M (ponto médio do lado BC) sobre a reta suporte
de DH.
(ii) trace a perpencidular p à reta suporte de DH pelo ponto médio P de MH,
determinando sobre C1 a(s) interseção(ões) P1 (e P2).
(iii) prolongue DP1, determinando o vértice A sobre a perpendicular a DH
por H.
(o prolongamento de DP2 gera uma outra solução para o vértice A).
(iv) trace a circunferência de centro O e raio OA circunscrita ao
triângulo,
determinando os outros dois vértices B e C sobre a reta suporte de DH.
OBS 1: É possível ter 0/1/2 solução(ões) para o vértice A,
dependendo se a reta p não-intercepta/tangencia/é-secante a C1.
OBS 2: Os vértices B e C podem ser intercambiados.
Abracos,
sergio
2013/6/26 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com
Sauda,c~oes, oi Sergio,
Sim, continuo na lista.
Caiu no ITA, foi? Bom saber.
Gosto mesmo destes problemas. Vou mandar em seguida mais
um, que acabo de conhecer. Problema (presente) de grego.
===
Eu não consegui, mas obtive a solução na internet
(a qual envio numa próxima mensagem).
===
Fico curioso. Conseguir como? Com o Google?? E e e ???
Para construir o triângulo, precisamos conhecer um resultado
fundamental: a bissetriz ASa é bissetriz também do ângulo
HaAO.
Outro fato, esse elementar: a reta (A , Ha) é perpendicular â reta
(Ha , Sa).
Ultima dica: pense num circulo e numa reta espertos .
Valeu Sergio pelo problema.
Abs,
Luis
--
Date: Wed, 26 Jun 2013 08:01:02 -0300
Subject: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989
From: sergi...@smt.ufrj.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Essa é em homenagem ao Luís Lopes e ao E. Wagner
(não sei se ainda acompanham a lista):
Construa o triângulo ABC dados em posição:
. o pé Ha da altura do vértice A em relação ao lado BC.
. a interseção Sa da bissetriz do ângulo A com o lado BC.
. o circuncentro O do triângulo.
Eu não consegui, mas obtive a solução na internet
(a qual envio numa próxima mensagem).
Abraço,
sergio
--
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acredita-se estar livre de perigo.
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