1) Nao hah um engano
no enunciado? Talvez eu eh que esteja enganado, mas me parece que o enunciado
estah equivocado.
2) Se aeh
ponto de aderencia de X, entao existe um sequencia (x_n) em X que converge para
a.A continuidade de f implica que f(a) = lim f(x_n). Como (x_n) eh uma
seq. em X, temos f(x_n) = 0 para todo n, de modo que f(a) = lim (0) =
0.
3) Seja h = f - g.
Entao, h eh continua em a e, emtoda vizinhanca Vde a, existem x e y
tais que h(x) 0 e h(y) 0. Se h(a) 0, a continuidade de h em
a implicaria a existencia de uma vizinhanca V de a na qual h fosse estritamente
negativa, contariando a conclusoa anterior. Analogamente, h(a) 0 tambem
leva a contradicao. Logo , h(a) = f(a) - g(a) =0 = f(a) =
g(a).
4) A funcao f dada
eh continua para x0, de modo quefapresenta a propriedade do
valor intermediario em qualquer intervalo que nao contenha 0. Considerando que f
eh impar, basta, para completarmos a prova, mostrar que f apresenta a
propriedade do valor intermediario em todo intervalo da forma [0, a], a0.
Seja h compreendido entre f(0) = 0 e f(a) = sen(1/a).Existe w em (0, 2pi)
tal que sen(w) = h. Como o seno eh periodica com periodo fundamental 2pi, temos
sen(2*k*pi + w) = h para todo k =0, 1,2...Temos que 1/x - oo quando x -
0+, de modo que, para uma infinidade de x em (0, a), temos 1/x =2*k*pi + w
para algum k =0,1,2...;.e, portanto, sen(1/x) = sen(w) = h. Logo, f
apresenta a propriedade do valor intermediario em [0,a] para todo
a0.
5) A prova de que
f+g eh uniformemente continua eh muito simples.Ppara o caso de f*g,
observemos que existe M0 - tal que |f(x)| M e |g(x)| M para todo
real x.Para todos reais x e y, temos que |f(x)*g(x) - f(y)*g(y)| =
|f(x)*g(x) - f(x)*g(y)+ f(x)*g(y) - f(y)*g(y)| =|f(x)*(g(x) -
g(y)) + g(y)*(f(x) - f(y))| = M*|g(x) - g(y)| + M*|f(x) - f(y)|.
As continuidades uniformes de g e de f implicam que, para todo eps0,
exista d0 tal que |g(x) - g(y)| eps/(2*M) e |f(x) - f(y)|
eps/(2*M) para todos xe y tais que |x -y| d. Sunstituindo na
desigualdadeanterior, concluimos que |f(x)*g(x) - f(y)*g(y)|
eps para tais elementos x e y, o que nos mostra que f*g eh uniform. continua em
R.
Para o caso do max e
do min, observe que max{f(x),g(x)} = (f(x) + g(x) + |f(x) - g(x)|)/2
e min{f(x),g(x)} = (f(x) + g(x) - |f(x) - g(x)|)/2.As
contin. uniformes de f e de g implicam a de f+gque, por sua vez, implica a
de |f +g|. para ver que a contin. uniforme de uma funcao u implica a de |u|,
observe que, pela desiguladade triangular, para todos x e y temos | |u(x)| -
|u(y)| | = |u(x) - u(y)|. Se u eh uniform. continua, podemos escolher
d 0 tal que se |x -y| d, entao | |u(x)| - |u(y)| | = |u(x) -
u(y)| eps. conforme afirmado.
Espero
ter ajudado.
Artur
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de jose.lEnviada
em: segunda-feira, 26 de dezembro de 2005 13:24Para:
obm-lAssunto: [obm-l] + duvida de análise
Olá amigos da lista! Agradeço ajuda recebida! Quem puder me ajujar
nessas questões eu agradeço! Das 5 eu fiz 4, mas não tenho certeza! Desde de
já, obrigado
1)Uma função f:X-R diz-se semi-continua superiormente
(scs) no ponto a Î X quando, para cada c f(a) dado, existe
d 0 tal que x Î X, |x-a|d implicam f(x) c. Defina função função
semi-continua inferiormente (sci) no ponto a. Prove que se f é scs, g é sci no
ponto a e f(a)g(a) então existe d 0 tal que x Î X, |x-a|d Þ f(x)g(x).
2) Seja f:R-R continua. Prove que se f(x) = 0 para
todo x Î X então f(x) = 0 para todo
x pertencente ao seu conjunto dos seus pontos aderentes.
3) Sejam f,g:-R continuas no ponto a. Suponha que, em cada vizinha V de a, existam pontos
x,y tais que f(x) g(x) e f(y) g(y). Prove que f(a) = g(a).
4) Diz -se que uma função f:-R, definida no
intervalo I tem a propriedade do valor intermediário quando a imagem de f(J)
de todo intervalo J Ì I é um intervalo. Mostre que a função f:R-R, dada
por f(x)= sem(1/x) se x ¹ 0 e f(0) = 0, tem a propriedade do valor
intermediário, embora seja descontínua.
5) Sejam f,g:X-R uniformemente contínuas. Prove que
f + g é uniformemente contínua. O mesmo ocorre com o produto f*g desde que f e
g sejam limitadas. Prove que j,y:X-R, dadas por j(x) = max{f(x),g(x)} e y(x) = min{f(x),g(x)} xÎ X são uniformemente
contínuas.
