1 - Sejam A, H, G e Q as médias dos n-1 números a1, a2, a3, ..., a(n-1). Queremos mostrar que H<G<A<Q.
a) Considere os números a1, a2, ..., a(n-1) e G. Pela hipótese, para
estes **n** números vale MH < MG < MA. Para não tirar a sua diversão, faça as
contas: de MH<MG vai sair H<G e de MG<MA sai G<A. Se quiser detalhes, estão no
PS abaixo.
b) Agora tome a1, a2, ..., a(n-1) e Q e use MA<MQ para estes n números.
Vai sair que A<Q.
2) Considere os números a1=a2=a3=...=an=1+1/n e a(n+1)=1. Usando MA>MG
para eles, temos...
Abraço, Ralph
P.S. Detalhes de 1):
a) MG = (a1a2...a(n-1)G)^(1/n) = (G^(n-1).G)^(1/n) = G
MA=(a1+a2+...+a(n-1)+G)/n=((n-1)A+G)/n > MG = G, então fazendo as
contas, A>G
MH=n/((n-1)/H+1/G) < MG=G, então, G>H.
b) Então n(MQ)^2=a1^2+a2^2+...+a(n-1)^2+Q^2=nQ^2, isto é, MQ=Q
Assim, MA = (a1+a2+...+a(n-1)+Q)/n = ((n-1)A+Q)/n < MQ=Q implica A<Q.
Detalhes de 2):
MG = ((1+1/n)^n)^(1/(n+1)) < MA = (n(1+1/n)+1)/(n+1) = (n+2)/(n+1) =
1+1/(n+1).
Elevando a n+1, sai o que queremos.
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] em nome de Chicao Valadares
Enviada: sex 1/5/2007 6:12
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Assunto: [obm-l] Questões de Desigualdades (MA,MH, MG e MQ)
1 - Prove que se as desigualdades das médias(MA,MH, MG
e MQ) é válida p/ "n" naturais diferentes de zero
então ela é válida p/ "n-1" naturais diferentes de
zero.
2 - Prove que para todo "n" maior ou igual a "1" a
desigualdade é sempre é verdadeira:
(1 + 1/n)^(1/n) < (1 + 1/(n+1))^(1/(n+1))
, ou seja , a sequencia a_n = (1 + 1/n)^(1/n) é
estritamente crescente para n natural diferente de
zero(só p/ lembrar que quando n-> infinito => a_n ->
"e" mas isso não deve ser usado no problema).
PS1:
MA -> Media Aritmetica
MG -> Media Geometrica
MH -> Media Harmonica
MQ -> Media Quadratica
PS2: A questão 2 eu consegui fazer expandindo o
binômio mas ela deve ser feita usando as desigualdades
das médias apenas, coisa que eu não consegui.
Abraços.
<<winmail.dat>>
