[obm-l] RE: [obm-l] indução finita
Sauda¸c~oes, oi Eder,
Embora não usando a sugestão do Elon, nos exercícios 11 e 56 do
Manual de Indução (ver www.escolademestres.com) demonstro
tal resultado.
E acredito que no exercício 12 você encontre elementos para fazer a
demonstração como sugerido.
Abraços,
Luis
Date: Sun, 9 Jan 2011 05:56:07 -0800
From: eder_it...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] indução finita
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Pessoal,
Depois de passar muito tempo meditando sobre o exercício abaixo (consta num
artigo do Elon Lages Lima publicado na Eureka), resolvi enviar para a lista. Se
alguém puder resolver, fico muito agradecido... Eis a questão:
Para todo n em N, ponha x_n = { (n+1)^2 / [n(n+2)] }^n e prove por indução que
se tem x_n < (n+2)/(n+1). Conclua que a seqüência de termo geral x_n
=[(n+1)/n]^n é crescente.
Sugestão: x_(n+1)=[(n+2)/(n+1)]^3.[n/(n+3)].x_n. (será que está certo
isso???).
Obrigado,
Eder
[obm-l] Re:[obm-l] Indução finita
Olá, para n=1, temos: 2 >= 0 para n=2, temos: 4 >= 3 para n=3, temos: 8 >= 8 para n=4, temos: 16 >= 15 ok.. vimos para alguns casos.. na verdade, para inducao, basta ser verdadeiro para 1 caso.. Suponha verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1. 2^k >= k^2 - 1 multiplicamos por 2.. entao: 2^(k+1) >= 2k^2 - 2 sabemos que (k+1)^2 - 1 = k^2 + 2k (2k^2 - 2) - (k^2 + 2k) = k^2 - 2k - 2 = k^2 - 2k - 1 - 1 = (k-1)^2 - 1 >= 0, para k>0 assim: 2k^2 - 2 >= k^2 + 2k = (k+1)^2 - 1 assim: 2^(k+1) >= 2k^2 - 2 >= (k+1)^2 - 1 logo: 2^(k+1) >= (k+1)^2 - 1 cqd. abraços, Salhab > > Provar que 2^n >=n^2 -1 > > == > === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > == > === >
[obm-l] RE: [obm-l] Indução finita (mais um...)
Hah um engano, a expressao dada nao pode ser a soma dos quadrados dos n primeiros numeros impares, pois, para n=1, ela teria que dar 1, e nao 5/3. Acho que o certo eh n(4n^2 - 1)/3. Jah que temos uma sugestao para a formula, vamos verificar por inducao finita. Para n=1, obtemos 1 - OK. Admitindo-se que a formula valha para algum natural n e sendo S_n a soma dos quadrados dos n primeiros numeros impares, temos que S_n+1 = S_n + (2n+1)^2 = n(4n^2 - 1)/3 + (2n+1)^2 = n(2n-1)(2n+1)/3 + (2n+1)^2 = (2n+1) [n(2n-1)+3(2n+1)]/3 = (2n+1)[2n^2+5n+3]/3= (2n+1)(n+1)(2n+3)/3 = (n+1)(2n+1)(2n+3)/3. Dado que S_n = n(4n^2 - 1)/3 = n(2n-1)(2n+1)/3, vemos que a expressao de S_n+1 eh obtida de S_n substituindo-se n por n+1. Isto completa a inducao e mostra que a formula eh valida (a corrigida, nao a original). O que temos aqui eh a soma dos quadrados dos n primeiros termos de uma PA, no caso a PA dos numeros impares. Existe uma formula geral (dificil de se guardar) para a soma dos n primeiros termos de uma PA elevados a k, poderiamos simplesmente aplicar tal formula sem recorrer a inducao finita. Sabemos que esta formula corresponde a um polinomio do grau k+1 em n no qual o termo independente eh nulo. Logo, no caso temos um pol. Do grau 3 em n com termo independente nulo. Basedos nisto, uma forma mais simples de checarmos se a expressao eh correta, e que evita o algebrismo que realizamos, eh verificar se a mesma eh um pol. em n (e de fato eh), se o termo independente eh nulo (claramente eh) e se a expressao bate para n=1 , 2 e 3 (existe um e apenas um pol. do terceiro grau que atende a estas condicoes). Verificamos sem muito esforco que este eh o caso, conclusao que valida a formula. Provas por inducao finita sao interessantes, mas exigem que se conheca previamente a conclusao que se deseja provar. Assim, para aplica-las, vc tem, seja porque analisou o problema, seja porque (como no caso) alguem lhe disse ou seja porque vc teve uma especie de inspiracao divina, que desconfiar previamente que sua formula ou conclusao eh valida Finalizo sugerindo a vc um problema simples e interessante a ser resolvido por inducao: baseado em que a soma dos n primeiros naturais eh dada por n(n+1)/2, mostre que a soma dos cubos dos n primeiros naturais eh o quadrado da soma dos mesmos, Espero ter ajudado um pouco. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Indução finita (mais um...)
> Como eu faço isso? > Verifique que > 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = n(4n^2 + 1)/3 Corrigindo... n(4n^2 - 1)/3 e não n(4n^2 + 1)/3. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Indução Finita
Caro amigo, Tem um livro do ilustre prof. Luis Lopes, que por acaso compartilha seu conhecimento conosco na lista. Chama-se: Manual de Indução Finita e pode ser comprado on line na Livraria Cultura. A propósito, compre todos da coleção dele, são excelentes. livrariacultura.com.br Um abraço. - Original Message - From: BOL <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, January 01, 1998 5:10 AM Subject: [obm-l] Indução Finita Alguém poderia me sugerir livros, sites na net ou similares sobre o princípio da indução finita? Pode ser referências em Inglês, espanhol ou português. (Além daquele artigo da revista eureka nº 3) Obrigado Denisson Esta mensagem continha vírus e foi descontaminada pelo E-mail Protegido Terra. Para impedir a contaminação do seu computador o E-mail Protegido Terra remove qualquer arquivo anexado que possua vírus. Por este motivo, a mensagem pode estar mencionando um arquivo anexado que foi removido por segurança. Veja abaixo o relatório do E-mail Protegido Terra Mensagem: [obm-l] Indução Finita Remetente: "BOL" <[EMAIL PROTECTED]> Data de envio: 01/01/1998 06:10'42 Arquivo contaminado: (t/02f9.js/02f9.js) Nome do vírus: JS/[EMAIL PROTECTED] (t/02f9.js/02f9.js) (JS/[EMAIL PROTECTED]) Estes anexos foram removidos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Indução finita
>From: Helder Suzuki<[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Indução finita >Date: Sat, 23 Mar 2002 19:15:33 -0300 (ART) > >Olá pessoal, >como posso provar, usando indução finita, que (x-1)^x > x^(x-1) para todo >x>3 natural ? > >,Hélder > >_ANSWER Vamos provar que n>((n+1)/n)^n((estrela)).Vamos de PIF.Prove que para n>3 da certo.E com isso na mao,vamos provar.Como (n+1)/n>(n+2)/(n+1),eleva tudo a n+1 e pronto!E so arranjar um jeito de usar((estrela)).Gostou? __ >Yahoo! Empregos >O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! >http://br.empregos.yahoo.com/ >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é<[EMAIL PROTECTED]> >= Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/BR = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Indução finita
Caso base: mostrar que pra x=4 funciona (81>64) Indução: (x-1)^x > x^(x-1) Multiplicando os dois lados por [x^(x+1)]/[(x-1)^x] temos x^(x+1) > x^(x-1) * x^(x+1) / (x-1)^x x^(x+1) > x^(2x) / (x-1)^x x^(x+1) > [ x^2 / (x-1) ]^x Mas podemos ver que x^2 / (x-1) > x+1, porque x^2 > (x-1)*(x+1) x^2 > x^2 - 1. Então x^(x+1) > [ x^2 / (x-1) ]^x > (x+1)^x , x^(x+1) > (x+1)^x - Juliana - Original Message - From: "Helder Suzuki" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, March 23, 2002 7:15 PM Subject: [obm-l] Indução finita Olá pessoal, como posso provar, usando indução finita, que (x-1)^x > x^(x-1) para todo x>3 natural ? ,Hélder ___ Yahoo! Empregos O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! http://br.empregos.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
