Re: [obm-l] Re:[obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios
Evento A[k]: k digitos ocoparem suas posicoes corretas, com k=n, natural. P[k=1]=1-P[0] P[0] corresponde a prob. de que cada um dos digitos nao esteja em sua posicao correta. Na posicao 1 podem entrar (n-1) digitos tendo uma prob de (n-1)/n de ocorrer (note que os n digitos sao todos distintos), para o seg. digito (n-2)/(n-1) ja que um dos digitos foi fixado na posicao 1 E se na posição 1 tiver se fixado o numero 2? Sobrariam (n-1) dígitos para serem escolhidos no 2o. dígito.. nessa parte que eu to me enrolando... David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios
Bem.. eu vou pensar um pouco sobre isso que vc fez.. mas ta meio dificil pra mim.. Obrigado a todos.. []s David A solução era C(n) = 1 - 1/2! + 1/3! - 1/4! + ... + (-1)^(n+1)/n!. No limite quando n - oo, isso tende para 1 - e^(-1). Eu cheguei a fazer esse desenvolvimento por conta própria na época (depois de vários equívocos, como sempre), mas ficou extremamente extenso, usando diversas induções... Considerei basicamente seqüências P(i), que correspondiam ao número de permutações da matriz identidade que mantinham a i-ésima linha inalterada e que não repetiam permutações já consideradas anteriormente; era assim: P(1) = (n-1)! P(2) = (n-1)! - (n-2)! P(3) = (n-1)! - 2*(n-2)! + (n-3)! ... P(k) = Somatório(i=0,k-1) (k-1)!/(i!*(k-i)!)*(-1)^i*(n-1-i)! Somam-se os P(k) e dividi-se tudo por n! para obter a expressão C(n). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios
Qual a probabilidade de que exatamente n-1 digitos ocupem o seu lugar proprio? zero? :o Desculpa o enunciado pouco esclarecedor(pouco é pouco?), mas é que não pode aparecer dígito repetido.. aí se (n-1) dígitos ocupam seu lugar próprio, o dígito que falta pôr é justamente o dígito correspondente a posição e aí ficariam n dígitos ocupando seu lugar próprio.. são permutações de números de n dígitos.. deu pra entender? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios
Uma observação: vc escreveu dígitos e exemplificou pondo 1,2,3, ..., n. O que eu respondi foi considerando isso como se fossem os n primeiros números naturais e a ordem sendo aquela mesma que vc está pensando... []s, Daniel David M. Cardoso ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Bem.. eu vou pensar um pouco sobre isso que vc fez.. mas ta meio dificil pra mim.. Obrigado a todos.. []s David A solução era C(n) = 1 - 1/2! + 1/3! - 1/4! + ... + (-1)^(n+1)/n!. No limite quando n - oo, isso tende para 1 - e^(-1). Eu cheguei a fazer esse desenvolvimento por conta própria na época (depois de vários equívocos, como sempre), mas ficou extremamente extenso, usando diversas induções... Considerei basicamente seqüências P(i), que correspondiam ao número de permutações da matriz identidade que mantinham a i-ésima linha inalterada e que não repetiam permutações já consideradas anteriormente; era assim: P(1) = (n-1)! P(2) = (n-1)! - (n-2)! P(3) = (n-1)! - 2*(n-2)! + (n-3)! ... P(k) = Somatório(i=0,k-1) (k-1)!/(i!*(k-i)!)*(-1)^i*(n-1-i)! Somam-se os P(k) e dividi-se tudo por n! para obter a expressão C(n). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios
Puxa.. não consegui encontrar a solução.. Encontrei isso aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200212/msg00040.html. A única coisa que eu vi eh que tem a ver com e^(-1). Conheço pouco(nada)... Mas estava tentando fazer assim (ta errado): Dada uma sequência qualquer, se P_k for a probabilidade de o k-ésimo dígito não ser k, eu encontrei, meio que intuitivamente, que P_k = 1 - (1/n). Depois, pensei que se eu quero que todos sejam diferentes, eu deveria ter P(n) = (1 - (1/n))^n. E aí, pra inverter a situação, bastaria fazer 1 - P(n) no final... Mas percebi que estava errado, pois pra n=3 é fácil ver que a probabilidade seria 2/3. Pra completar a questão, o exercício pede que você estude o limite desta probabilidade quando n é grande.. Enfim... de qualquer forma, obrigado. Abraço, David -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Sent: Wednesday, October 27, 2004 6:31 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios Bem, diversas vzes na lista foui discutido o problema inverso: a probabilidade de nenhum digito estar em sua posicao. Dai, procure nos servidores e acabou! David M. Cardoso [EMAIL PROTECTED] wrote: Tentei, tentei, tentei um pouco mais e não consegui encontrar uma solução: Suponha que os n dígitos 1,2,3,...,n sejam escritos em ordem aleatória. Qual é a probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu lugar próprio? Alguém ajuda? Abraço, David == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === Yahoo! Acesso Grátis http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/*http://br.acesso.yahoo. com/ - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios
Tentei, tentei, tentei um pouco mais e não consegui encontrar uma solução: Suponha que os n dígitos 1,2,3,...,n sejam escritos em ordem aleatória. Qual é a probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu lugar próprio? Evento A[k]: k digitos ocoparem suas posicoes corretas, com k=n, natural. P[k=1]=1-P[0] P[0] corresponde a prob. de que cada um dos digitos nao esteja em sua posicao correta. Na posicao 1 podem entrar (n-1) digitos tendo uma prob de (n-1)/n de ocorrer (note que os n digitos sao todos distintos), para o seg. digito (n-2)/(n-1) ja que um dos digitos foi fixado na posicao 1 e assim por diante ate (n-(n-1))/(n-(n-1)) P[0]=(n-1).(n-2)...(n-(n- 1))/n.(n-1)...(n-(n-1)))= (n-1)!/n!=1/n Dai P[0]=1-1/n=(n-1)/n Bem, acho que seja isto. []`s. Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
