É fácil generalizar isso para inteiros, basta vc considerar um jogo onde
jogam q pessoas, onde q é a razão.
Vou apresentar a generalização para os racionais:
Considere um jogo onde jogam q pessoas e ganham p pessoas (p<q) // se vc
teve criatividade para imaginar o jogo acima, não deve ter problemas para
imaginar esse :)
Agora imagine um torneio desse onde jogam q^(n+1) pessoas. Elas jogam
eliminatória, e param de jogar quando sobram p^(n+1) pessoas, que são
consideradas vencedoras.
No round 1 terão q^(n+1) pessoas e q^n jogos;
No round 2 terão q^(n)*p pessoas e q^(n-1)*p jogos;
...
No último round terão q*p^n pessoas e p^n jogos.
Venceram p^(n+1) pessoas após i último round.
Existirão no total q^n + q^(n-1)*p + q^(n-2)*p^2 + ... + q*p^(n-1) + p^n
partidas.
Por outro lado q^(n+1) - p^(n+1) pessoas foram eliminadas (cada pessoa
perdeu apenas 1 vez), e o número de pessoas eliminadas é o número de jogos
vezes o número de pessoas eliminadas por jogo, que é q-p.
Ou seja o número de jogos é (q^(n+1) - p^(n+1)) / (q-p) que é a soma da
PG: q^n + q^(n-1)*p + q^(n-2)*p^2 + ... + q*p^(n-1) + p^n.
Novamente vc tem que multiplicar por algum fator se a_0 for diferente e tem
que tomar cuidado com razão negativas, mas isso é fácil de trabalhar também.
Abraço
2011/5/25 Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com>
> Existem várias formas de se demonstrar a fórmula da soma dos termos de
> uma PG (assim como PA, e outras séries "notáveis"). Eu estive
> discutindo de tênis (Roland Garros, precisamente) aqui com uns amigos,
> e me veio a seguinte lembrança de uma demonstração muito interessante.
>
> Problema: "Quantos jogos há em Roland Garros?" (obs: há 128 jogadores,
> os jogos são eliminatórios, e não há disputa de 3° lugar)
> Resposta: 127, afinal de contas cada jogador, exceto o campeão do
> torneio, perde exatamente um jogo. Mas note que o número de jogos é
> 128/2 (primeira rodada) + 128/4 + ... + 1 que é uma soma de PG de
> razão 2. (Ou 1/2, dependendo como você quiser ver. Eu prefiro números
> inteiros, sei lá, parece mais fácil.) Um campeonato com 2^N jogadores
> mostra que a soma de 2^n (n de 0 a N-1) é 2^N - 1.
>
> Muito bem. Fazer a soma da PG de razão 2 é "fácil". (Não vou falar do
> caso de a_0 != 1, que é óbvio fatorando)
>
> A idéia agora é a seguinte: arrumar um argumento de contagem (duas
> vezes, para generalizar, como diria a Eureka!) para a soma de PGs de
> razão inteira qualquer. Em seguida, para r real, eu vejo algumas
> pistas: um argumento de "abstract nonsense" para ver que esse
> resultado válido para todos os inteiros implica no mesmo resultado
> para todos os reais("Álgebra"), ou um argumento de aproximação (mas
> tem que mostrar que funciona para todos os racionais; "Análise").
>
> É isso. Divirtam-se.
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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