2013/5/31 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>:
> Olá amigos!
>
> Isto não parece muito difícil, mas até agora não consegui.
>
> Exemplo de uma função de R em R (ou definida em (a, oo) para algum a) que
> seja crescente e derivável, seja tal que lim x --> oo f(x) = L em R e tal que
> a condição lim x --> oo f'(x) = 0 não se verifique.
>
> Como f' tendo limite positivo no infinito implicaria que f fosse para
> infinito, então f' não pode ter limite no infinito, tem que ficar oscilando.
>
> Se vc não exigir que f seja monotônica, não é difícil achar um exemplo. f(x)
> = (sen(x^2))/x , x > 0, atende. f vai para 0 no infinito e f'(x) = 2 cos(x^2)
> - (sen(x^2))/x fica oscilando e não converge para nada. Mas f' assume uma
> infinidade de valores positivos e uma infinidade de negativos, de modo que f
> não é monotônica.
>
> No nosso caso, temos que garantir que f' fique oscilando mas sem assumir
> valores negativos. Acho que f tem que ser um tanto patológica.
Não sei o que você chama de patológica, mas você já tem a solução,
falta só descrever a solução sem ser com uma fórmula analítica
bonitinha.
Sejam então a_n = 2^n, b_n = a_n + 4^(-n), c_n = 5^(-n).
Considere a função que vale 0 em a_0, é linear com derivada 1 até b_0,
e depois linear com derivada c_0 até a_1. Em geral, ela é linear com
derivada 1 entre a_n e b_n, e linear com derivada c_n entre b_n e
a_{n+1}.
Pronto, temos uma função crescente, derivável (quase), a derivada não
tende a zero (como você mesmo disse) mas com limite: de a_n até a_n+1
a função cresce menos de 4^(-n) + (2/5)^n, que é dá uma série
convergente. Agora, basta "aparar" os cantos da função para obter uma
função C-infinito.
Talvez isso dê uma idéia de como pode-se construir uma fórmula
"bonitinha" para f, mas isso eu deixo pra você.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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