[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Inequação com resto
2010/12/14 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com 2010/12/14 Lucas Prado Melo luca...@dcc.ufba.br: Olá, Oi, recentemente encontrei a seguinte conjectura (que ele diz parecer evidente para ele, mas que eu não consigo provar pra mim mesmo) num trabalho acadêmico de um colega: Seja a, b naturais diferentes de 0, com a = b. Seja b%a o resto de b na divisão por 'a'. Então 2*(b%a) = b Alguém poderia provar (ou dar contra-exemplo)? Eu tentei fazer uma busca por pelos 'a' e 'b' primos entre si (usando sequências de Farey), mas não consegui encontrar um contraxemplo com b = 1. Já é uma boa iniciativa (não sei porque Farey ajuda, mas você deve saber...) e não achar nada até 1 deveria ser um sinal bom para começar a procurar uma demonstração :) Escreva b = q*a + r (a divisão euclidiana de b por a, quociente q, resto r). A gente quer mostrar que 2*r = b. O que a gente sabe : 0 = r a 0 = a = b, logo q = 1 Então r = b - q*a, 2*r = r + b - q*a = b + (r - q*a). Como q = 1, q*a = a r, logo o termo entre parênteses é negativo (estritamente) e assim 2r = b + Negativo b. Veja que a idéia de provar isso foi a seguinte: fixe o a, e faça variar o b. Se b for muito perto do a, o resto r vai ser pequeno, e daí não funciona. Se b for muito maior, o resto r vai ser pequeno porque menor do que a. No meio do caminho, você tem b = 2a - 1, que deixa resto (a-1), mas, nem assim, dá certo, já que 2(a-1) 2a - 1 = b. Obrigado a todos pelas respostas :-) Eu usei Farey para encontrar pares de números primos entre si, já que quando o par de números não é primo entre si podemos dividí-los pelo mdc e usar a resposta do novo par para responder ao original. Prova: Seja o caso para ad, bd com mdc(a,b)=1. bd = q*ad + r = d(b - aq) = r Por definição de resto, 0=rad, então 0 = d(b-aq) ad, e portanto 0 = b-aq a ... Onde b-aq = r' que é o resto da divisão de b por a por definição. E, no final, 2*r = db sse 2*dr' = db sse 2*r' = b Ou seja, o teorema vale para (ad, bd) sse valer para (a, b) -- []'s Lucas
[obm-l] Re: [obm-l] Inequação com resto
Dado b=a, escreva b=ma+r onde m eh inteiro positivo e 0=ra. Como m=1 (pois b=a), temos b=ma+r=a+rr+r=2r. Ou seja, 2rb. Abraco, Ralph 2010/12/14 Lucas Prado Melo luca...@dcc.ufba.br Olá, recentemente encontrei a seguinte conjectura (que ele diz parecer evidente para ele, mas que eu não consigo provar pra mim mesmo) num trabalho acadêmico de um colega: Seja a, b naturais diferentes de 0, com a = b. Seja b%a o resto de b na divisão por 'a'. Então 2*(b%a) = b Alguém poderia provar (ou dar contra-exemplo)? Eu tentei fazer uma busca por pelos 'a' e 'b' primos entre si (usando sequências de Farey), mas não consegui encontrar um contraxemplo com b = 1. -- []'s Lucas
[obm-l] Re: [obm-l] Inequação com resto
Caso 2a b, a divisão b/a dá 1, com resto igual a b-a, que é menor que b/2. Caso 2a=b, o resto é zero. Caso 2ab, já que o resto deve ser menor que a, temos (b%a) a b/2 acho que é isso. abraço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Inequação com resto
2010/12/14 Lucas Prado Melo luca...@dcc.ufba.br: Olá, Oi, recentemente encontrei a seguinte conjectura (que ele diz parecer evidente para ele, mas que eu não consigo provar pra mim mesmo) num trabalho acadêmico de um colega: Seja a, b naturais diferentes de 0, com a = b. Seja b%a o resto de b na divisão por 'a'. Então 2*(b%a) = b Alguém poderia provar (ou dar contra-exemplo)? Eu tentei fazer uma busca por pelos 'a' e 'b' primos entre si (usando sequências de Farey), mas não consegui encontrar um contraxemplo com b = 1. Já é uma boa iniciativa (não sei porque Farey ajuda, mas você deve saber...) e não achar nada até 1 deveria ser um sinal bom para começar a procurar uma demonstração :) Escreva b = q*a + r (a divisão euclidiana de b por a, quociente q, resto r). A gente quer mostrar que 2*r = b. O que a gente sabe : 0 = r a 0 = a = b, logo q = 1 Então r = b - q*a, 2*r = r + b - q*a = b + (r - q*a). Como q = 1, q*a = a r, logo o termo entre parênteses é negativo (estritamente) e assim 2r = b + Negativo b. Veja que a idéia de provar isso foi a seguinte: fixe o a, e faça variar o b. Se b for muito perto do a, o resto r vai ser pequeno, e daí não funciona. Se b for muito maior, o resto r vai ser pequeno porque menor do que a. No meio do caminho, você tem b = 2a - 1, que deixa resto (a-1), mas, nem assim, dá certo, já que 2(a-1) 2a - 1 = b. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
