[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos como matriz
Claudio, Primeiramente, obrigado pela informações sobre o assunto. Tanto as suas mensagens como a que o Artur escreveu foram muito elucidativas! Perdoe-me não ter respondido antes ao seu problema, estava pensando sobre ele. Aliás, mesmo que eu não tivesse respondido, não faria sentido pensar que não teria sido de meu interesse. O mais provável seria eu não ter encontrado alguma solução razoável... Para ser sincero, o que me ocorre é que o conjunto M terá 1999 elementos, pois: z = A = a -b b a 1 = I = 1 0 0 1 Assim, o problema se reduz a z^1999 = 1999, i.e., determinar as mil novecentas e noventa e nove (!!!) raízes de z, tais que reescritas na forma matricial seriam os elementos do conjunto M, e uma única dessas matrizes possuindo a_12 = a21 = 0, isto é, parte imaginária nula de z. O raciocínio é esse mesmo? Ou só foi impressão minha que você está pretendendo que eu fique calculando raízes complexas dessa coisa até a morte Ahhh, me ocorreu outra coisa! Também não se poderia, geometricamente, pensar que as 1999 raízes de z, ou ainda, as tais matrizes que você quer, formam um 1999-ágono? Seria uma figura bem interessante... ;-) Abraços e obrigado! Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 17, 2004 10:32 PM Subject: Re: [obm-l] Números complexos como matriz Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra mostrar a utilidade e o poder desse conceito de isomorfismo, tente resolver este problema que caiu na OMMS em 1999: Seja M o conjunto de todas as matrizes da forma: a -b b a onde a e b sao numeros reais. Determine todas as matrizes A pertencentes a M tais que A^1999 = 1999*I. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos como matriz
on 18.03.04 20:05, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: O raciocínio é esse mesmo? Ou só foi impressão minha que você está pretendendo que eu fique calculando raízes complexas dessa coisa até a morte Se voce quiser... Mas admita que o isomorfismo facilita bastante... Ahhh, me ocorreu outra coisa! Também não se poderia, geometricamente, pensar que as 1999 raízes de z, ou ainda, as tais matrizes que você quer, formam um 1999-ágono? Seria uma figura bem interessante... ;-) Isso eh verdade para as raizes n-esimas de qualquer complexo. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos como matriz
Realmente facilita, Cláudio. Se compararmos a dificuldade, para um computador, de se calcular uma matriz A^1999 com a de se extraírem 1999 raízes, não há o que comparar: o tempo disperdiçado com a primeira forma é gigantesco. Obrigado de novo! Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 18, 2004 11:13 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexoscomo matriz Se voce quiser... Mas admita que o isomorfismo facilita bastante... Isso eh verdade para as raizes n-esimas de qualquer complexo. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos como matriz
Isto me parece mais um caso tipico de isomorfismo, que identifica o conjunto dos complexos - no caso, o corpop dos complexos - com o conjunto das matrizes -tambem um corpo - da forma que vc citou. Um isomorfismo eh uma bijecao entre dois corpos que preserva as operacoes de adicao e de multiplicacao neles definidas. Se A e B sao corpos e f:A- B eh um isomorfismo, entao para todos x e y em A temos f(x+y) = f(x) + f(y) e f(x*y) = f(x)* f(y), onde + e * devem ser entendidas conforme definidas nos corpos A e B. Eh atraves de um isomorfismoque chegamos aa representacao dos complexos na forma a+ b*i, a qual nos permite considerar que numeros reais sao complexos com parte imaginaria nula. Tambem atraves de isomorfismo podemos idenficar o corpo das matrizes quadradas de ordem 1 e termo real com o corpo dos reais. Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Rafael Sent: Wednesday, March 17, 2004 10:12 PM To: OBM-L Subject: [obm-l] Números complexos como matriz Pessoal, Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em processos que transformam as características geométricas dos números complexos em algo simples. Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo? Obrigado, Rafael de A. Sampaio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
