Re: [obm-l] Re: [obm-l] O caráter não enumerável de R
Deve ter uma confusao aiO que quero dizer e F(N,N),e essa notaçao eu vi no livro de analise do Elon. Essa demonstraçao,em linhas gerais,seria... 1.Cada irracional tem uma unica representaçao decimal;Cada racional e representado por noves infinitos no fim;e 0=0.00.. 2.Suponha que no[0,1) de pra enumerar.Veja um exemplo: r_1=0,22109... r_2=0,26353... r_3=0.94553... r_4=0,93442... r_5=0.83429... Seja r=0,26549... o real obtido pegando as diagonais(o 1° de r_1,o 2° de r_2,o 3° de r_3).Onde tem 2,poe 9,e onde nao tem2 poe 2:r'=0,9... Veja que r' sempre sera diferente de r_i(o i° algarismo apos a virgula nao e igual nos numeros).Logo r' nao esta na lista.E pronto! Laurito Alves <[EMAIL PROTECTED]>wrote: O que você chama de N*N*N ???Se for um produto cartesiano de N uma quantidade enumerável de vezes, ele é enumerável.LauritoFrom: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: Re: [obm-l] O caráter não enumerável de RDate: Mon, 9 Sep 2002 16:28:42 -0300 (ART) Eu acho que voce ta viajando demais.Enumeravel e o conjunto com uma bijecao nos naturais.Os reais nao sao enumeraveis pelo fato de que N*N*Nnao e enumeravel 498 - Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Um abraço a todos os amigos deste grupo no qual acabei de me inscrever!O assunto que mencionei sempre me intriga um pouco. Há uma clássicademonstração de que R (o conjunto dos reais)não é numerável e que podeser encontrada na maioria dos livros sobre Análise. Estas provasbaseiam-se no fato de que, nos espaços euclidianos, conjuntos perfeitosnão são numeráveis. Logo, um ponto chave em tais provas é que oselementos do espaço são pontos de acumulação do mesmo.Sabemos que todo elemento de R é ponto de acumulação. Mas, e este é oponto que me intriga, tal conclusão depende da métrica definida em R.Na métrica euclidiana usual tal fato é demonstrado (admitindo-se que Rseja completo). Mas, se tomarmos, por exemplo, a chamada métricadiscreta (d(x,y)=1, se xy e d(x,y)=0 se x=y))então nenhum elemento deR (ou do espaço métrico em questão) é ponto de acumulação. A provas queconheço sobre a não enumerabilidade de R (que consistem em se construiruma seqüência de intervalos fechados aninhados) não mais se aplicam namétrica discreta.Não me parece plausível que um espaço métrico seja enumerável numamétrica (ou topologia) e não numerável em outra, mas será que existeuma prova de que R (ou um espaço métrico qualquer) não é numerável aqual seja independente da forma segundo a qual definamos seus conjuntosabertos?Artur=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é=-Yahoo! PageBuilder - O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido._Tenha você também um MSN Hotmail, o maior webmail do mundo: http://www.hotmail.com/br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>= Yahoo! PageBuilder - O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido.
[obm-l] RE: [obm-l] O caráter não enumerável de R
-Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Sent: Monday, September 09, 2002 11:29 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] O caráter não enumerável de R Eu acho que voce ta viajando demais.Enumeravel e o conjunto com uma bijecao nos naturais. Sim, mas, porque vc acha que eu estou viajando? Uma das provas de que R não é enumerável baseia-se no fato de que ele contém conjuntos perfeitos e é um espaço métrico completo. Não há nenhuma viagem nisso. Os reais nao sao enumeraveis pelo fato de que N*N*Nnao e enumeravel Vc se refere à expansão deciuma dos elementos de R.? 498 - Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Um abraço a todos os amigos deste grupo no qual acabei de me inscrever! O assunto que mencionei sempre me intriga um pouco. Há uma clássica demonstração de que R (o conjunto dos reais)não é numerável e que pode ser encontrada na maioria dos livros sobre Análise. Estas provas baseiam-se no fato de que, nos espaços euclidianos, conjuntos perfeitos não são numeráveis. Logo, um ponto chave em tais provas é que os elementos do espaço são pontos de acumulação do mesmo. Sabemos que todo elemento de R é ponto de acumulação. Mas, e este é o ponto que me intriga, tal conclusão depende da métrica definida em R. Na métrica euclidiana usual tal fato é demonstrado (admitindo-se que R seja completo). Mas, se tomarmos, por exemplo, a chamada métrica discreta (d(x,y)=1, se xy e d(x,y)=0 se x=y))então nenhum elemento de R (ou do espaço métrico em ! questão) é ponto de acumulação. A provas que conheço sobre a não enumerabilidade de R (que consistem em se construir uma seqüência de intervalos fechados aninhados) não mais se aplicam na métrica discreta. Não me parece plausível que um espaço métrico seja enumerável numa métrica (ou topologia) e não numerável em outra, mas será que existe uma prova de que R (ou um espaço métrico qualquer) não é numerável a qual seja independente da forma segundo a qual definamos seus conjuntos abertos? Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>= Yahoo! PageBuilder - O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido.
[obm-l] Re: [obm-l] O caráter não enumerável de R
On Thu, Sep 05, 2002 at 05:48:56PM -0300, 498 - Artur Costa Steiner wrote:
Um abraço a todos os amigos deste grupo no qual acabei de me inscrever!
O assunto que mencionei sempre me intriga um pouco. Há uma clássica
demonstração de que R (o conjunto dos reais)não é numerável e que pode
ser encontrada na maioria dos livros sobre Análise. Estas provas
baseiam-se no fato de que, nos espaços euclidianos, conjuntos perfeitos
não são numeráveis. Logo, um ponto chave em tais provas é que os
elementos do espaço são pontos de acumulação do mesmo.
Sabemos que todo elemento de R é ponto de acumulação. Mas, e este é o
ponto que me intriga, tal conclusão depende da métrica definida em R.
Na métrica euclidiana usual tal fato é demonstrado (admitindo-se que R
seja completo). Mas, se tomarmos, por exemplo, a chamada métrica
discreta (d(x,y)=1, se xy e d(x,y)=0 se x=y))então nenhum elemento de
R (ou do espaço métrico em questão) é ponto de acumulação. A provas que
conheço sobre a não enumerabilidade de R (que consistem em se construir
uma seqüência de intervalos fechados aninhados) não mais se aplicam na
métrica discreta.
Não me parece plausível que um espaço métrico seja enumerável numa
métrica (ou topologia) e não numerável em outra, mas será que existe
uma prova de que R (ou um espaço métrico qualquer) não é numerável a
qual seja independente da forma segundo a qual definamos seus conjuntos
abertos?
De fato, o fato de um conjunto ser ou n~ao enumer'avel independe
da m'etrica, topologia, ou de qualquer outra estrutura:
depende apenas do conjunto. Considere o seguinte teorema/demonstra,c~ao:
Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A.
Ent~ao toda fun,c~ao de A em P(A) 'e n~ao sobrejetora.
De fato,
X = { x in A | x n~ao pertence a f(x) }
se X = f(x) temos
x pertence a X == x n~ao pertence a X
um absurdo.
Isso demonstra que o conjunto das partes de um conjunto infinito
'e sempre n~ao-enumer'avel. Mas podemos criar uma c'opia de P(N)
(partes de N, o conjunto dos naturais) dentro de R, basta representar
cada subconjunto de N pela cadeia infinita correspondente de 0 e 1,
interpretada como uma expans~ao decimal infinita.
'E bem verdade que o que eu acabo de construir 'e um conjunto de Cantor,
mas n~ao usei a m'etrica de R...
[]s, N.
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