[obm-l] Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez

[Artur Costa Steiner]

2) Vejamos o caso o caso a^p - a. Temos que o primo p= 5 eh impar, e desta
forma p-1 eh par. Assim, p-1 = 2p' para algum inteiro positivo p'.

Temos que a^p - a = a(a^(p-1) -1) = a(a^(2p') - 1) = a(a^p' + 1)(a^p' - 1).
Se a for par, entao eh imediato que a^p - a eh par. Se a for impar, entao
a^p'eh impar e os numeros (a^p' + 1) e (a^p' - 1) sao ambos pares. Logo,
tambem neste caso a^p - a eh par, sendo inclusive multiplo de 4.

Se a for multiplo de 3, entao eh imediato que a^p - a eh tambem multiplo de
3. Se a nao for multiplo de 3, temos 2 casos: se a for par, a^p' eh par.
Logo, um dos numeros (a^p' + 1) ou (a^p -1) eh multiplo de 3 (para todo
numero par n que nao seja multiplo de 3, n-1 ou n +1 eh multiplo de 3). Isto
nos mostra que a^p - a eh multiplo de 3. Se a nao for multiplo de 3 e for
impar, entao a^p' eh um impar nao multiplo de 3. Entao, dentre os numeros
pares (a^p' + 1) e (a^p' - 1) um deles eh necessariamente multiplo de 3 (se
n eh um impar nao multiplo de 3, entao um dos pares n-1 e n+1 eh sempre
multiplo de 3).
Chegamos assim aa conclusao de que, nas condicoes dadas, a^p - a eh sempre
par e multiplo de 3, logo eh multiplo de 6. 

Pelo pequeno teorema de Fermat, temos ainda que a^p = a (mod p). Logo a^p -
a eh multiplo de p. E como para o primo p temos  p 3, segue-se, em virtude
da conclusao anterior, que a^p - a eh multiplo de 6p, ou seja, 6p divide a^p
- p, conforme afirmado.

O outro deve ter um saida semelhante, depois vemos se dah pra sair.
De uma conferida, meu conhecimento de teoria dos numeros eh muito limitado.
Artur


  Agradeço  qualquer ajuda nas seguintes questões:
 
  1) Mostre que existe uma correspondência biunívoca
  entre pares de primos
  gêmeos e números n tais que n^2 -1 possui 4
  divisores.
 
  2) Seja p 3 um primo. Mostre que a^p - a  e a^p. b-
  b^p . a são divisíveis
  por 6p, para todos a0, com ab.
 
  3) seja p um primo ímpar. Mostre que se pode
  escrever p = y^2 - x^2, com  x
  e y positivos, de modo único.
 
  Obrigado
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[obm-l] Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez

[Ricardo Khawge]

Desculpe Artur, já encontrei a mensagem



From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez
Date: Sun, 30 Apr 2006 23:55:37 -0700 (PDT)

1) Suponhamos que m = n^2 - 1 = (n+1)(n-1)  possua 4
divisores. Temos que n=3. Se n for impar, entao n- 1
e n+1 sao ambos pares, implicando que m seja multiplo
de 4. Se n =3, entao m =8 tem 4 divisores, mas isto
nao leva ainda aa correspondencia desejada. Se n=5
for impar, entao os numeros pares n-1 =4 e n+1 sao
divisores de m. Alem disto, m tem como divisores os
numeros 1 , 2 e m, de modo que para n=5, impar, m tem
pelo menos 5 divisores, contraraiamente aa hipotese.
Assim, valore impares de n nao implicam a
correspondencia de4sejada.
Se n=4 for par, entao n-1=3 e n+1 sao ambos
divisores impares de m. Alem disto, m tem por
divisores os numeros 1 e o proprio m. Dado que m tem
exatamente 4 divisores, segue-se que n-1 e n+1 sao
ambos primos, pois, se ao menos um deles fosse
composto, m teria pelo menos um divisor a mais do que
os citados, contrariamente aa hipotese basica.
Concluimos assim que, a cada valor par de n para o
qual n-1 e n+1 sejam primos - logo primos gemeos -
corresponde o par (n-1 , n+1) de primos gemeos.
Por outro lado, se n-1 e n+1 sao pimos gemeos, entao m
= n^2 -1 = (n-1)(n+1) tem por fatores primos unica e
exclusivamente n-1 e n+1 (teorema fundamental da
aritmetica). Como, alem disto, 1 e m sao divisores de
m, segue-se que m tem exatamente 4 divisores. Isto eh,
a cada par de primos gemeos, corresponde um numero da
forma n^2 -1. Concluimos, assim, que a correspondencia
entre o conjunto dos pares de primos gemeos e os
numeros da forma n^2 -1 eh ,de fato, biunivica, hah
uma bijecao entre os 2 conjuntos.

A questao 3 jah foi discutida na lista, de forma mais
geral, hah alguns dias, sob o titulo Diferenca de 2
quadrados. Basta fazer y = (p+1)/2 e x = (p-1)/2.

A questao 2 parece mais complicada, vamos tentar outra
hora.

Artur

--- Ricardo Khawge [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Agradeço  qualquer ajuda nas seguintes questões:

 1) Mostre que existe uma correspondência biunívoca
 entre pares de primos
 gêmeos e números n tais que n^2 -1 possui 4
 divisores.

 2) Seja p 3 um primo. Mostre que a^p - a  e a^p. b-
 b^p . a são divisíveis
 por 6p, para todos a0, com ab.

 3) seja p um primo ímpar. Mostre que se pode
 escrever p = y^2 - x^2, com  x
 e y positivos, de modo único.

 Obrigado


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