Para o caso da condição de Lipschitz, supondo que f seja diferenciável em I, me
ocorreu uma vez o seguinte
1) f' é, conforme se sabe, o limite de uma sequência de funções contínuas.
2) Como R é um espaço de Baire, para toda sequência g_n de funções contínuas em
um intervalo I que convirja para uma função g, existe um subintervalo no qual
as g_n são uniformemente limitadas por algum M 0. Logo, g é limitada por M
neste subintervalo.
3) de (2) segue-se haver um subintervalo de I no qual f' é limitada por algum M
0. Logo, neste subintervalo f' é Lipschitz e M é uma constante da condição de
Lipschitz.
Uma vez eu mostrei esta prova para algumas pessoas e não gostaram. Paciência,
não se pode agradar a todos. No caso, não agradei ninguém. Alguns disseram que
estava errado, porque sabidamente diferenciabilidade não implica que a função
seja localmente Lipschitz. Mas a condição que eu citei não é ser localmente
Lipschitz, é mais fraca do que isso.
Depois vim a saber que para, haver o subintervalo em que f seja Lipschitz,
basta que em cada ponto de I as 4 derivadas de Dini de f sejam finitas. Me
enrolei nesta prova, mas acho que tenho uma por contradição.
Aliás, nos complexos há uma conclusão interessante. Se f é inteira, então f é
Lipschitz em todo conjunto limitado do plano complexo.
Abraços
Artur Costa Steiner
Em 02/03/2013, às 17:50, Bernardo Freitas Paulo da Costa
bernardo...@gmail.com escreveu:
2013/3/1 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
1) suponhamos que exista uma função f tal que, para todo real x, tenhamos
f(f(x)) = ax^2 + bx + c, a não nulo, b e c reais. Mostre que (b +1)(b - 3)
= 4ac.
Esse eu ainda tenho que pensar com cuidado. A primeira coisa é reduzir
a g(g(x)) = x^2 + c, mas eu ainda não sei fazer o caso c 0.
2) seja (a_n) uma sequência de reais e (p_n) uma sequência de pesos
positivos. Seja (s_n) a sequência das médias ponderadas de (a_n) com relação
os pesos p_n. Mostre que, se Soma p_n divergir, então
liminf s_n = liminf a_n = limsup a_n = limsup s_n
É bem fácil mostrar que, se Soma p_n convergir, as desigualadas da direita e
da esquerda não têm que valer.
Curioso... Eu diria que s_n é uma combinação convexa dos a_n, logo s_N
= min(a_n, n=1..N) e portanto min(s_N, N=1..k) = min(min(a_n,
n=1..N), N=1..k) = min(a_n, n=1..k). Claro que tem que fazer do outro
lado (no infinito, não no 1) mas eu diria que liminf a_n = liminf
s_n. Mais tarde tento enviar uma prova dessa soma de Césaro.
3) Seja f uma função definida em um intervalo I de R (suponhamos aberto,
para facilitar) e com valores em R. Suponhamos que, em cada ponto de I, as 4
derivadas de Dini de f existam e sejam finitas. Mostre que existe um
subintervalo de I no qual f é Lipschitz.
Isto é mais fácil de mostrar se supusermos diferenciabilidade cheia em todo
o I. Mas, de fato, basta a existência das 4 derivadas de Dini.
Diferenciabilidade cheia = full differentiability = diferenciável no
sentido usual ? (Nunca fiz nada com derivadas de Dini)
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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