[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência
13^4=1 mod(10) , elevando o 13 a qualquer potência o 1 poderá se elevar pela mesma potência (pela proprieda de congruência). Por isso que pulei direto para (13)^9^9 = (1)^9^9 mod 10 ...(13)^387420489 = (1)^387420489 mod 10. Ou seja, (13)^9^9 = 1 mod (10) Não sei se é certo, por isso perguntei. Abraços, Kleber. 2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com387420489 Desculpe pelo outro email, saiu errado Como você disse, 13^4 = 1 mod(10), analisando 13, ou 3, mod 10, concluimos que 13^n = 1 mod(10) se n = 4k, ou seja, se n é múltiplo de 4. Mas 9^9 não é múltiplo de 4 Portanto é impossível que 13^(9^9) = 1 mod(10) Para ficar mais claro 13^0 = 1 (4k) 13^1 = 3 (4k+1) 13^2 = 9 (4k+2) 13^3 = 7 (4k+3) 13^4 = 1 (4k) 13^5 = 3 (4k+1) 13^6 = 9 (4k+2) 13^7 = 7 (4k+3) 13^8 = 1 (4k) 13^9 = 3 (4k+1) 13^10 = 9 (4k+2) 13^11 = 7 (4k+3) 13^12 = 1 (4k) 13^13 = 3 (4k+1) ... O 1, 3, 9, 7 vai se repetindo Não entendi essa passagem que você fez 13^4 = 1 mod(10) (13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10) Sim, 13^4 = 1 mod(10) Mas 13 não []'s Joao -- Date: Mon, 28 Nov 2011 07:27:19 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência From: klebe...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Bom dia, pensei assim: 13 = 3 mod(10) 13^2 = -1 mod(10) 13^4 = -1^2 mod(10) 13^4 = 1 mod(10) (13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10) (13)^9^9 = 1 mod(10) Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo. Será que tá errado? Abraços, Kleber. 2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Se for 13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10) Vamos analisar 3^x mod 10 3^0 = 1 (4k) 3^1 = 3 (4k+1) 3^2 = 9 (4k+2) 3^3 = 7 (4k+3) 9^9 mod(4) = 1^9 mod(4) = 1 Logo 9^9 = 4k+1 e 3^(4k+1 = 3 mod(10) Resposta: 3 -- Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200 Subject: [obm-l] Congruência From: klebe...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá amigos, O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução. Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9). Desde de já agradeço a ajuda. Abraços, -- Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão) -- Kleber B. Bastos -- Kleber B. Bastos
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência
Na verdade é quase isso 13^4 = 1 mod(10), elevando o 13^4 ( e não o 13) a qualquer potência o 1 será elevado à mesma Date: Mon, 28 Nov 2011 12:51:38 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência From: klebe...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 13^4=1 mod(10) , elevando o 13 a qualquer potência o 1 poderá se elevar pela mesma potência (pela proprieda de congruência). Por isso que pulei direto para (13)^9^9 = (1)^9^9 mod 10 ...(13)^387420489 = (1)^387420489 mod 10. Ou seja, (13)^9^9 = 1 mod (10) Não sei se é certo, por isso perguntei. Abraços, Kleber. 2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com387420489 Desculpe pelo outro email, saiu errado Como você disse, 13^4 = 1 mod(10), analisando 13, ou 3, mod 10, concluimos que 13^n = 1 mod(10) se n = 4k, ou seja, se n é múltiplo de 4. Mas 9^9 não é múltiplo de 4 Portanto é impossível que 13^(9^9) = 1 mod(10) Para ficar mais claro 13^0 = 1 (4k) 13^1 = 3 (4k+1)13^2 = 9 (4k+2) 13^3 = 7 (4k+3)13^4 = 1 (4k) 13^5 = 3 (4k+1)13^6 = 9 (4k+2) 13^7 = 7 (4k+3)13^8 = 1 (4k) 13^9 = 3 (4k+1)13^10 = 9 (4k+2) 13^11 = 7 (4k+3)13^12 = 1 (4k) 13^13 = 3 (4k+1)... O 1, 3, 9, 7 vai se repetindo Não entendi essa passagem que você fez 13^4 = 1 mod(10) (13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10) Sim, 13^4 = 1 mod(10)Mas 13 não []'s Joao Date: Mon, 28 Nov 2011 07:27:19 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência From: klebe...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Bom dia, pensei assim: 13 = 3 mod(10) 13^2 = -1 mod(10) 13^4 = -1^2 mod(10) 13^4 = 1 mod(10) (13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10) (13)^9^9 = 1 mod(10) Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo. Será que tá errado? Abraços, Kleber. 2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Se for 13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10) Vamos analisar 3^x mod 103^0 = 1 (4k)3^1 = 3 (4k+1)3^2 = 9 (4k+2)3^3 = 7 (4k+3) 9^9 mod(4) = 1^9 mod(4) = 1 Logo 9^9 = 4k+1 e 3^(4k+1 = 3 mod(10) Resposta: 3 Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200 Subject: [obm-l] Congruência From: klebe...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá amigos, O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução. Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9). Desde de já agradeço a ajuda. Abraços, -- Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão) -- Kleber B. Bastos -- Kleber B. Bastos
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Olá João, Obrigado pelo esclarecimento. Abração, Kleber. Em 28 de novembro de 2011 13:06, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Na verdade é quase isso 13^4 = 1 mod(10), elevando o 13^4 ( e não o 13) a qualquer potência o 1 será elevado à mesma -- Date: Mon, 28 Nov 2011 12:51:38 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência From: klebe...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 13^4=1 mod(10) , elevando o 13 a qualquer potência o 1 poderá se elevar pela mesma potência (pela proprieda de congruência). Por isso que pulei direto para (13)^9^9 = (1)^9^9 mod 10 ...(13)^387420489 = (1)^387420489 mod 10. Ou seja, (13)^9^9 = 1 mod (10) Não sei se é certo, por isso perguntei. Abraços, Kleber. 2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com387420489 Desculpe pelo outro email, saiu errado Como você disse, 13^4 = 1 mod(10), analisando 13, ou 3, mod 10, concluimos que 13^n = 1 mod(10) se n = 4k, ou seja, se n é múltiplo de 4. Mas 9^9 não é múltiplo de 4 Portanto é impossível que 13^(9^9) = 1 mod(10) Para ficar mais claro 13^0 = 1 (4k) 13^1 = 3 (4k+1) 13^2 = 9 (4k+2) 13^3 = 7 (4k+3) 13^4 = 1 (4k) 13^5 = 3 (4k+1) 13^6 = 9 (4k+2) 13^7 = 7 (4k+3) 13^8 = 1 (4k) 13^9 = 3 (4k+1) 13^10 = 9 (4k+2) 13^11 = 7 (4k+3) 13^12 = 1 (4k) 13^13 = 3 (4k+1) ... O 1, 3, 9, 7 vai se repetindo Não entendi essa passagem que você fez 13^4 = 1 mod(10) (13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10) Sim, 13^4 = 1 mod(10) Mas 13 não []'s Joao -- Date: Mon, 28 Nov 2011 07:27:19 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência From: klebe...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Bom dia, pensei assim: 13 = 3 mod(10) 13^2 = -1 mod(10) 13^4 = -1^2 mod(10) 13^4 = 1 mod(10) (13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10) (13)^9^9 = 1 mod(10) Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo. Será que tá errado? Abraços, Kleber. 2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Se for 13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10) Vamos analisar 3^x mod 10 3^0 = 1 (4k) 3^1 = 3 (4k+1) 3^2 = 9 (4k+2) 3^3 = 7 (4k+3) 9^9 mod(4) = 1^9 mod(4) = 1 Logo 9^9 = 4k+1 e 3^(4k+1 = 3 mod(10) Resposta: 3 -- Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200 Subject: [obm-l] Congruência From: klebe...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá amigos, O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução. Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9). Desde de já agradeço a ajuda. Abraços, -- Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão) -- Kleber B. Bastos -- Kleber B. Bastos -- Kleber B. Bastos
