2014/1/1 Pedro Chaves brped...@hotmail.com:
Muito obrigado, Ralph e Pacini.
Continuo em dúvida:
Como expressar em linguagem formal as afirmações x tende para a, x tende a
mais infinito e x tende a menos infinito?
Como provar que as afirmações x tende a mais infinito e x + r tende a mais
infinito são equivalentes? ( x é variável real e r é uma constante real)
—-- Questão já proposta na Lista.
Bom, as afirmações acima não são formais. O primeiro passo, portanto,
seria transformá-las em afirmações formais, dando um sentido preciso.
Assim, eu vejo duas formas.
Podemos pensar x como uma seqüência infinita de valores x_1, x_2,
... x_n, ... Daí, x+r será um abuso de notação para a seqüência
infinita (x_1 + r), (x_2 + r), ... , (x_n + r), ... . Então, a
demonstração será sobre limites de sequências.
A segunda forma é como fizeram antes: x é uma função de uma outra
variável (tempo, por exemplo, que é a metáfora mais comum para o
entendimento de limites), e neste caso x+r será uma outra função,
tomando valores r maiores. E a demonstração será, agora, sobre
limites de funções.
Talvez o que complique a coisa seja o seguinte. Existe uma expressão
informal para limites que é f(x) tende a A quando x tende a B, e
parece que precisamos dar um sentido separado para quando x tende a
B. É claro que fazendo isso, também temos um sentido separado para
f(x) tende a A, e assim acabamos de decompor uma sentença em duas.
Por mais que isso seja interessante e intuitivo (como frase do
português), o problema todo é que a expressão original não é
matematicamente formal. Ela abrevia uma coisa complicada (com épsilons
e deltas, desigualdades, para todos e existes) e, quando você vai
ver, não dá para separar. Como o Ralph e o Kelvin já escreveram, eu
vou pegar carona, repetir, e tentar mostrar que estas duas partes são,
realmente, inseparáveis. Pelo menos, como foram definidas. Talvez
valha a pena tentar dar uma definição formal do que seja x tende a B
sem ligar com mais nada, mas até hoje ninguém achou uma.
Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo B. (B poderia
estar na borda, poderia ser mais geral do que um intervalo, mas isso
não vem ao caso aqui)
A expressão A é o limite de f(x) quando x tende a B quer dizer, exatamente:
Para todo épsilon positivo, existe delta positivo, tal que, para todo
x no intervalo, se |x - B| delta então | f(x) - A | épsilon
Note que a expressão original é uma afirmação com 3 variáveis livres:
f, A e B. O x é uma variável muda da definição: isso é mais claro
ao ler a versão formal, onde eu introduzi o x com o para todo na
frente, e poderia ter chamado de w que não ia fazer a menor
diferença (entre a afirmação ser verdadeira ou falsa claro ; você
pode achar - e eu concordo - que chamar uma coisa de x dá uma idéia
diferente de chamar a mesma coisa de batata ou w).
A parte que parece que tem a ver com o x tende a B é a seguinte:
existe delta positivo, tal que, para todo x no intervalo, se |x - B| delta
Fora disso, parece que tem mais a ver com o f(x) tende a A, não?
Mas o problema é que esta frase que a gente obteve ficou capenga, ela
não pede muita coisa para o x, nem explica muita coisa também. Ela
diz: x está no intervalo e bota um se, mas não completa o então.
Pior ainda, o então | f(x) - A | épsilon, na verdade, é uma
condição no x. Isso é até mais claro quando você bota os parêntesis na
frase para interpretar direito:
Para todo épsilon positivo ( existe delta positivo, tal que [ para
todo x no intervalo, { se |x - B| delta, então | f(x) - A |
épsilon } ] )
Assim, você não pode separar a parte de dentro como sendo uma das
metades da definição. Você até poderia cortar a frase para ficar só
com os parêntesis (e você teria uma afirmação com 4 variáveis livres,
f, A, B e épsilon), ou para ficar só com os colchetes (e daí seriam 5
variáveis, porque aparece o delta) ou só com as chaves (e daí você tem
6 variáveis, f, A, B, épsilon, delta, x, na ordem em que foram
introduzidas, o A e o B introduzidas simultaneamente). E veja que, até
o nível mais profundo da definição (o com 6 variáveis) o f aparece. O
que explica porque não dá para separar direito.
Espero que ajude... um dos grandes problemas da análise (e que levou
sua cota de séculos para ser resolvido) foi justamente esse de passar
de uma idéia intuitiva de limites de uma variável para a definição
formal de limites de uma coisa DEPENDENDO do comportamento de outra.
A vantagem da primeira é que você dá sentido às duas partes da frase
limite de f(x) quando x tende a B, mas o problema é que, como é
apenas intuitivo, você não consegue fazer uma demonstração 100%
formal.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
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