[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Três de inteiros
Quanto ao último, 3) Se x,y,z são números reais não nulos,com x+y+z também não nulo Calcule os valores possíveis da expressão F(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) Acho que dá para aplicar rearranjo, não? Primeiro, por homogeneidade, supunhetemos que x+y+z=1. Segundo, por simetria, x=y=z. Temos x^2+y^2+z^2 = x^2+yz+zy, afinal basta subtrair: (x^2-x^2) + (y^2-yz) + (z^2-zy) = 0 + y(y-z) + z(z-y) = (z-y)^2 =0 E também, x^2+yz+zy = xy+yz+zy Demonstre da mesma forma! Agora, temos que ver os sinais... Em 21/02/14, Tarsis Esautarsise...@gmail.com escreveu: Bernado, vc tinha razão. resolvendo 2) a resposta é (-33, -33). Desenvolvendo 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn, vamos chegar a m² -mn + 33m + n² + 33n + 33² = 0 Resolvendo em função de n, teremos um delta [(n-33)² - 4.(n² + 33n + 33²)] = -3n² -6.33n - 3.33², Sendo que -3n² -6.33n - 3.33² =0 Estudando o sinal da parábola, temos que a concavidade deve estar voltada para baixo, assumindo assim um máximo O delta desta nova equação é 0 e ela apresenta máximo em n = -33. Substituindo-se em 2), m = -33. 2014-02-21 17:02 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau tarsise...@gmail.com: Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) m³ + n³ + 99mn = 33³ (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] Assim, temos 1) m + n - 33 = 0 e Deveria ser ou, mas você agiu como se fosse ou. Mas isso é menos importante que o meu próximo comentário. 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). Todos os inteiros estão neste intervalo. Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n =0. Desse modo, não há necessidade de resolver 2). Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os pares (a,b) com 0=a=33, 0 =b=33 como solução, aí tava certo. Mas veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada m existem três soluções n possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro, não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar isso. Além disso, o enunciado diz que m.n = 0, ou seja, pode ser que m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado errado, e era para ser m E n = 0). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Olá pessoal, posso fazer o que está descrito a seguir no terceiro problema ? Sabemos que x^2+y^2+z^2 ** xy+xz+yz e na hipótese de que xy+xz+yz não seja nulo, teremos : (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) ** 1/2 , para xy+xz+yz 0 e (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) ** -1/2 , para xy+xz+yz 0 . Daí F(x,y,z) varia de [-1/2, 0[ união [1/2,+infinito[ . Pacini Em 24 de fevereiro de 2014 12:43, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Quanto ao último, 3) Se x,y,z são números reais não nulos,com x+y+z também não nulo Calcule os valores possíveis da expressão F(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) Acho que dá para aplicar rearranjo, não? Primeiro, por homogeneidade, supunhetemos que x+y+z=1. Segundo, por simetria, x=y=z. Temos x^2+y^2+z^2 = x^2+yz+zy, afinal basta subtrair: (x^2-x^2) + (y^2-yz) + (z^2-zy) = 0 + y(y-z) + z(z-y) = (z-y)^2 =0 E também, x^2+yz+zy = xy+yz+zy Demonstre da mesma forma! Agora, temos que ver os sinais... Em 21/02/14, Tarsis Esautarsise...@gmail.com escreveu: Bernado, vc tinha razão. resolvendo 2) a resposta é (-33, -33). Desenvolvendo 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn, vamos chegar a m² -mn + 33m + n² + 33n + 33² = 0 Resolvendo em função de n, teremos um delta [(n-33)² - 4.(n² + 33n + 33²)] = -3n² -6.33n - 3.33², Sendo que -3n² -6.33n - 3.33² =0 Estudando o sinal da parábola, temos que a concavidade deve estar voltada para baixo, assumindo assim um máximo O delta desta nova equação é 0 e ela apresenta máximo em n = -33. Substituindo-se em 2), m = -33. 2014-02-21 17:02 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau tarsise...@gmail.com: Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) m³ + n³ + 99mn = 33³ (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] Assim, temos 1) m + n - 33 = 0 e Deveria ser ou, mas você agiu como se fosse ou. Mas isso é menos importante que o meu próximo comentário. 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). Todos os inteiros estão neste intervalo. Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n =0. Desse modo, não há necessidade de resolver 2). Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os pares (a,b) com 0=a=33, 0 =b=33 como solução, aí tava certo. Mas veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada m existem três soluções n possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro, não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar isso. Além disso, o enunciado diz que m.n = 0, ou seja, pode ser que m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado errado, e era para ser m E n = 0). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Pacini, vc tem que retirar os casos de que x+y+z =0 , ok ? Carlos Victor Em 24 de fevereiro de 2014 16:44, Pacini Bores pacini.bo...@globo.comescreveu: Olá pessoal, posso fazer o que está descrito a seguir no terceiro problema ? Sabemos que x^2+y^2+z^2 ** xy+xz+yz e na hipótese de que xy+xz+yz não seja nulo, teremos : (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) ** 1/2 , para xy+xz+yz 0 e (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) ** -1/2 , para xy+xz+yz 0 . Daí F(x,y,z) varia de [-1/2, 0[ união [1/2,+infinito[ . Pacini Em 24 de fevereiro de 2014 12:43, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Quanto ao último, 3) Se x,y,z são números reais não nulos,com x+y+z também não nulo Calcule os valores possíveis da expressão F(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) Acho que dá para aplicar rearranjo, não? Primeiro, por homogeneidade, supunhetemos que x+y+z=1. Segundo, por simetria, x=y=z. Temos x^2+y^2+z^2 = x^2+yz+zy, afinal basta subtrair: (x^2-x^2) + (y^2-yz) + (z^2-zy) = 0 + y(y-z) + z(z-y) = (z-y)^2 =0 E também, x^2+yz+zy = xy+yz+zy Demonstre da mesma forma! Agora, temos que ver os sinais... Em 21/02/14, Tarsis Esautarsise...@gmail.com escreveu: Bernado, vc tinha razão. resolvendo 2) a resposta é (-33, -33). Desenvolvendo 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn, vamos chegar a m² -mn + 33m + n² + 33n + 33² = 0 Resolvendo em função de n, teremos um delta [(n-33)² - 4.(n² + 33n + 33²)] = -3n² -6.33n - 3.33², Sendo que -3n² -6.33n - 3.33² =0 Estudando o sinal da parábola, temos que a concavidade deve estar voltada para baixo, assumindo assim um máximo O delta desta nova equação é 0 e ela apresenta máximo em n = -33. Substituindo-se em 2), m = -33. 2014-02-21 17:02 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau tarsise...@gmail.com: Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) m³ + n³ + 99mn = 33³ (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] Assim, temos 1) m + n - 33 = 0 e Deveria ser ou, mas você agiu como se fosse ou. Mas isso é menos importante que o meu próximo comentário. 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). Todos os inteiros estão neste intervalo. Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n =0. Desse modo, não há necessidade de resolver 2). Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os pares (a,b) com 0=a=33, 0 =b=33 como solução, aí tava certo. Mas veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada m existem três soluções n possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro, não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar isso. Além disso, o enunciado diz que m.n = 0, ou seja, pode ser que m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado errado, e era para ser m E n = 0). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Oi Carlos Victor, Se x+y+z =0 , teríamos F(x,y,z)= -1, o que não está no intervalo que encontrei. Certo ou não ? Pacini Em 24 de fevereiro de 2014 16:51, Carlos Victor victorcar...@globo.comescreveu: Pacini, vc tem que retirar os casos de que x+y+z =0 , ok ? Carlos Victor Em 24 de fevereiro de 2014 16:44, Pacini Bores pacini.bo...@globo.comescreveu: Olá pessoal, posso fazer o que está descrito a seguir no terceiro problema ? Sabemos que x^2+y^2+z^2 ** xy+xz+yz e na hipótese de que xy+xz+yz não seja nulo, teremos : (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) ** 1/2 , para xy+xz+yz 0 e (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) ** -1/2 , para xy+xz+yz 0 . Daí F(x,y,z) varia de [-1/2, 0[ união [1/2,+infinito[ . Pacini Em 24 de fevereiro de 2014 12:43, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Quanto ao último, 3) Se x,y,z são números reais não nulos,com x+y+z também não nulo Calcule os valores possíveis da expressão F(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) Acho que dá para aplicar rearranjo, não? Primeiro, por homogeneidade, supunhetemos que x+y+z=1. Segundo, por simetria, x=y=z. Temos x^2+y^2+z^2 = x^2+yz+zy, afinal basta subtrair: (x^2-x^2) + (y^2-yz) + (z^2-zy) = 0 + y(y-z) + z(z-y) = (z-y)^2 =0 E também, x^2+yz+zy = xy+yz+zy Demonstre da mesma forma! Agora, temos que ver os sinais... Em 21/02/14, Tarsis Esautarsise...@gmail.com escreveu: Bernado, vc tinha razão. resolvendo 2) a resposta é (-33, -33). Desenvolvendo 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn, vamos chegar a m² -mn + 33m + n² + 33n + 33² = 0 Resolvendo em função de n, teremos um delta [(n-33)² - 4.(n² + 33n + 33²)] = -3n² -6.33n - 3.33², Sendo que -3n² -6.33n - 3.33² =0 Estudando o sinal da parábola, temos que a concavidade deve estar voltada para baixo, assumindo assim um máximo O delta desta nova equação é 0 e ela apresenta máximo em n = -33. Substituindo-se em 2), m = -33. 2014-02-21 17:02 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau tarsise...@gmail.com: Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) m³ + n³ + 99mn = 33³ (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] Assim, temos 1) m + n - 33 = 0 e Deveria ser ou, mas você agiu como se fosse ou. Mas isso é menos importante que o meu próximo comentário. 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). Todos os inteiros estão neste intervalo. Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n =0. Desse modo, não há necessidade de resolver 2). Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os pares (a,b) com 0=a=33, 0 =b=33 como solução, aí tava certo. Mas veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada m existem três soluções n possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro, não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar isso. Além disso, o enunciado diz que m.n = 0, ou seja, pode ser que m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado errado, e era para ser m E n = 0). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Fiz a questão 1, ainda vou tentar fazer as outras. x³ + y³ = (x + y)² (x + y)(x² - xy + y²) = (x + y)² 1º) x=-y 2º) x² - xy + y² = x + y x² - x(1+y) + y² - y = 0 Resolvendo a equação de segundo grau encontramos um delta assim: -3y² + 6y + 1 = 0; para ele ser positivo y varia entre APROXIMADAMENTE [-0,15;2,15], como y é inteiro faz-se estudo de sinal para os pontos, (0,1,2) Substituindo os valores de y na equação de segundo grau x² - x(1+y) + y² - y = 0, vamos ter: A) Para y = 0; x1 = 0 e x2 =1 B) Para y = 1; x1 = 0 e x2 = 2 C) para y = 2; x1 = 1 e x2 = 2 Assim, os pares são (0,0), (1,0), (0,1), (2,1), (1,2) e (2,2), 2014-02-20 22:39 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2014-02-20 19:47 GMT-03:00 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com: 2014-02-20 18:46 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: 2) Determine todos os pares de inteiros (m,n) tais que m.n = 0 e m^3 + n^3 + 99mn = 33^3 2-- m+n=33 3m^2n+3mn^2=99mn Na segunda (m+n)^3 = m^3 + n^3 + 3mn(m+n) Foi isso que vc viu? foi. A idéia é muito boa, mas não acho que isso implique m+n = 33. Isso é apenas uma solução (enfim, uma família). Mas pode ser que m+n != 33, daí você pode cortar (33 - (m+n)) dos dois lados da equação e ficar com uma equação quadrática 3mn = 33^2 + 33(m+n) + (m+n)^2. (subtraia (m+n)^3 dos dois lados; na esquerda, expanda, cancele os cubos, fatore; na direita usa a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2), e veja que (a-b) = (33 - (m+n)) aparece dos dois lados). E tem que obter todas as soluções nesse caso também. (Pode ser que não haja nenhuma solução inteira, não pensei ainda!) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
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Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) m³ + n³ + 99mn = 33³ (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] Assim, temos 1) m + n - 33 = 0 e 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). Todos os inteiros estão neste intervalo. Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n =0. Desse modo, não há necessidade de resolver 2). 2014-02-21 13:00 GMT-03:00 Tarsis Esau tarsise...@gmail.com: Fiz a questão 1, ainda vou tentar fazer as outras. x³ + y³ = (x + y)² (x + y)(x² - xy + y²) = (x + y)² 1º) x=-y 2º) x² - xy + y² = x + y x² - x(1+y) + y² - y = 0 Resolvendo a equação de segundo grau encontramos um delta assim: -3y² + 6y + 1 = 0; para ele ser positivo y varia entre APROXIMADAMENTE [-0,15;2,15], como y é inteiro faz-se estudo de sinal para os pontos, (0,1,2) Substituindo os valores de y na equação de segundo grau x² - x(1+y) + y² - y = 0, vamos ter: A) Para y = 0; x1 = 0 e x2 =1 B) Para y = 1; x1 = 0 e x2 = 2 C) para y = 2; x1 = 1 e x2 = 2 Assim, os pares são (0,0), (1,0), (0,1), (2,1), (1,2) e (2,2), 2014-02-20 22:39 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2014-02-20 19:47 GMT-03:00 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com: 2014-02-20 18:46 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: 2) Determine todos os pares de inteiros (m,n) tais que m.n = 0 e m^3 + n^3 + 99mn = 33^3 2-- m+n=33 3m^2n+3mn^2=99mn Na segunda (m+n)^3 = m^3 + n^3 + 3mn(m+n) Foi isso que vc viu? foi. A idéia é muito boa, mas não acho que isso implique m+n = 33. Isso é apenas uma solução (enfim, uma família). Mas pode ser que m+n != 33, daí você pode cortar (33 - (m+n)) dos dois lados da equação e ficar com uma equação quadrática 3mn = 33^2 + 33(m+n) + (m+n)^2. (subtraia (m+n)^3 dos dois lados; na esquerda, expanda, cancele os cubos, fatore; na direita usa a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2), e veja que (a-b) = (33 - (m+n)) aparece dos dois lados). E tem que obter todas as soluções nesse caso também. (Pode ser que não haja nenhuma solução inteira, não pensei ainda!) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
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A terceira acho que assume todos os valores reais menos o -1. (x² + y² + z²)/2 (xy + xz + yz) = [(x+y+z)² - 2(xy + xz + zy)]/2(xy +xz + zy) Que fica (x + y + z)²/2(xy +xz + zy) - 2(xy + xz + zy)]/2(xy +xz + zy) (x + y + z)²/2(xy +xz + zy) - 1 Para ser -1, x + y + z deveria ser igual a zero, o que contraria o enunciado. 2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau tarsise...@gmail.com: Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) m³ + n³ + 99mn = 33³ (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] Assim, temos 1) m + n - 33 = 0 e 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). Todos os inteiros estão neste intervalo. Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n =0. Desse modo, não há necessidade de resolver 2). 2014-02-21 13:00 GMT-03:00 Tarsis Esau tarsise...@gmail.com: Fiz a questão 1, ainda vou tentar fazer as outras. x³ + y³ = (x + y)² (x + y)(x² - xy + y²) = (x + y)² 1º) x=-y 2º) x² - xy + y² = x + y x² - x(1+y) + y² - y = 0 Resolvendo a equação de segundo grau encontramos um delta assim: -3y² + 6y + 1 = 0; para ele ser positivo y varia entre APROXIMADAMENTE [-0,15;2,15], como y é inteiro faz-se estudo de sinal para os pontos, (0,1,2) Substituindo os valores de y na equação de segundo grau x² - x(1+y) + y² - y = 0, vamos ter: A) Para y = 0; x1 = 0 e x2 =1 B) Para y = 1; x1 = 0 e x2 = 2 C) para y = 2; x1 = 1 e x2 = 2 Assim, os pares são (0,0), (1,0), (0,1), (2,1), (1,2) e (2,2), 2014-02-20 22:39 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2014-02-20 19:47 GMT-03:00 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com: 2014-02-20 18:46 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: 2) Determine todos os pares de inteiros (m,n) tais que m.n = 0 e m^3 + n^3 + 99mn = 33^3 2-- m+n=33 3m^2n+3mn^2=99mn Na segunda (m+n)^3 = m^3 + n^3 + 3mn(m+n) Foi isso que vc viu? foi. A idéia é muito boa, mas não acho que isso implique m+n = 33. Isso é apenas uma solução (enfim, uma família). Mas pode ser que m+n != 33, daí você pode cortar (33 - (m+n)) dos dois lados da equação e ficar com uma equação quadrática 3mn = 33^2 + 33(m+n) + (m+n)^2. (subtraia (m+n)^3 dos dois lados; na esquerda, expanda, cancele os cubos, fatore; na direita usa a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2), e veja que (a-b) = (33 - (m+n)) aparece dos dois lados). E tem que obter todas as soluções nesse caso também. (Pode ser que não haja nenhuma solução inteira, não pensei ainda!) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
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2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau tarsise...@gmail.com: Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) m³ + n³ + 99mn = 33³ (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] Assim, temos 1) m + n - 33 = 0 e Deveria ser ou, mas você agiu como se fosse ou. Mas isso é menos importante que o meu próximo comentário. 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). Todos os inteiros estão neste intervalo. Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n =0. Desse modo, não há necessidade de resolver 2). Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os pares (a,b) com 0=a=33, 0 =b=33 como solução, aí tava certo. Mas veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada m existem três soluções n possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro, não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar isso. Além disso, o enunciado diz que m.n = 0, ou seja, pode ser que m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado errado, e era para ser m E n = 0). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Bernado, vc tinha razão. resolvendo 2) a resposta é (-33, -33). Desenvolvendo 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn, vamos chegar a m² -mn + 33m + n² + 33n + 33² = 0 Resolvendo em função de n, teremos um delta [(n-33)² - 4.(n² + 33n + 33²)] = -3n² -6.33n - 3.33², Sendo que -3n² -6.33n - 3.33² =0 Estudando o sinal da parábola, temos que a concavidade deve estar voltada para baixo, assumindo assim um máximo O delta desta nova equação é 0 e ela apresenta máximo em n = -33. Substituindo-se em 2), m = -33. 2014-02-21 17:02 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau tarsise...@gmail.com: Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) m³ + n³ + 99mn = 33³ (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] Assim, temos 1) m + n - 33 = 0 e Deveria ser ou, mas você agiu como se fosse ou. Mas isso é menos importante que o meu próximo comentário. 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). Todos os inteiros estão neste intervalo. Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n =0. Desse modo, não há necessidade de resolver 2). Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os pares (a,b) com 0=a=33, 0 =b=33 como solução, aí tava certo. Mas veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada m existem três soluções n possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro, não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar isso. Além disso, o enunciado diz que m.n = 0, ou seja, pode ser que m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado errado, e era para ser m E n = 0). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Três de inteiros
foi. 2014-02-20 18:46 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Na segunda (m+n)^3 = m^3 + n^3 + 3mn(m+n) Foi isso que vc viu? -- Date: Thu, 20 Feb 2014 13:47:48 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Três de inteiros From: saulo.nil...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 1-- x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)^2 x=-y ou x^2-xy+y^2-x-y=0 delta=(1+y)^2-4y^2+4y=1+2y+y^2-4y^2+4y=1+6y-3y^2 x=(1+y+-sqrt(4-3(y-1)^2))/-6nao serve pois nao tem soluçoes inteiras 2-- m+n=33 3m^2n+3mn^2=99mn 2014-02-20 11:23 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: 1) Ache todos os pares de inteiros (x,y) tais que x^3 + y^3 = (x + y)^2 2) Determine todos os pares de inteiros (m,n) tais que m.n = 0 e m^3 + n^3 + 99mn = 33^3 3) Se x,y,z são números reais não nulos,com x+y+z também não nulo Calcule os valores possíveis da expressão (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) Tentei,não consegui,peço ajuda.Desde já agradeço. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Três de inteiros
2014-02-20 19:47 GMT-03:00 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com: 2014-02-20 18:46 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: 2) Determine todos os pares de inteiros (m,n) tais que m.n = 0 e m^3 + n^3 + 99mn = 33^3 2-- m+n=33 3m^2n+3mn^2=99mn Na segunda (m+n)^3 = m^3 + n^3 + 3mn(m+n) Foi isso que vc viu? foi. A idéia é muito boa, mas não acho que isso implique m+n = 33. Isso é apenas uma solução (enfim, uma família). Mas pode ser que m+n != 33, daí você pode cortar (33 - (m+n)) dos dois lados da equação e ficar com uma equação quadrática 3mn = 33^2 + 33(m+n) + (m+n)^2. (subtraia (m+n)^3 dos dois lados; na esquerda, expanda, cancele os cubos, fatore; na direita usa a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2), e veja que (a-b) = (33 - (m+n)) aparece dos dois lados). E tem que obter todas as soluções nesse caso também. (Pode ser que não haja nenhuma solução inteira, não pensei ainda!) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
