[obm-l] Re: [obm-l] Raízes transcendentes

[Claudio Buffara]

 Seja x um número real diferente de n tal que x^n = n^x  ==>  x = n^(x/n).

Se x for transcendente, não há o que provar.

Suponhamos, assim, que x seja algébrico.

O teorema de Gelfond-Schneider diz que se a e b são algébricos, com a <> 0,
a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente.

n é algébrico diferente de 0 e 1.
Assim, basta provar que x é irracional e aplicar o teorema de
Gelfond-Schneider (com  a = n  e  b = x/n).

Suponhamos que x seja racional, digamos x = p/q com p inteiro (não
necessariamente positivo), q inteiro positivo, e p e q primos entre si.

x^n = n^x ==> (p/q)^n = n^(p/q) ==> (p/q)^(nq) = n^p ==>  p^(nq) = n^p *
q^(nq).

Como p e q são primos entre si, a unicidade da fatoração implica que q = 1
==> p^n = n^p.
E mais uma vez, a unicidade da fatoração implica que p = n  ou p = -n  ==>
x = -n, já que x <> n por hipótese.
Mas, neste caso, teremos (-n)^n = n^(-n) ==> inteiro = não inteiro ==>
contradição.


2018-03-24 7:40 GMT-03:00 Luís Lopes :

> Sauda,c~oes, oi Claudio,
>
> Depois eu dei uma demonstração que vale pra qualquer x real, positivo ou
> negativo. Você não viu?
>
> Não vi/recebi a demonstração para x negativo.
> Poderia mandar novamente ? Obrigado.
>
> Luís
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Raízes transcendentes

[Claudio Buffara]

Depois eu dei uma demonstração que vale pra qualquer x real, positivo ou
negativo. Você não viu?

2018-03-23 15:20 GMT-03:00 Artur Steiner :

> !
>
> Ests prova vale para raízes positivas, certo? Para n par, há também uma
> raiz negativa.
>
> Para raízes positivas, eu dei uma prova um pouco deferente da sua para a
> irracionalidade de x, porque tinha provado antes que as raízes não triviais
> estão em (1, e), no qual o único inteiro é 2. Depois, também apliquei
> Gelfond Schneider.
>
> Artur
> Mostrar texto das mensagens anteriores
> Ocultar texto das mensagens anteriores
>
>
>
>
> Em Qua, 21 de mar de 2018 21:44, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
> Seja x um número real diferente de n tal que x^n = n^x  ==>  x = n^(x/n).
>
> Se x for transcendente, não há o que provar.
>
> Suponhamos, assim, que x seja algébrico.
>
> O teorema de Gelfond-Schneider diz que se a e b são algébricos, com a <>
> 0, a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente.
>
> n é algébrico diferente de 0 e 1.
> Assim, basta provar que x é irracional e aplicar o teorema de
> Gelfond-Schneider (com  a = n  e  b = x/n).
>
> Suponhamos que x seja racional, digamos x = p/q com p e q inteiros primos
> entre si (e q <> 0).
> Seja log = logaritmo na base n.
>
> Então, log(x) = x/n  ==>  log(p/q) = p/(nq) ==> n^(p/(nq)) = p/q ==>
> p^(nq) = n^p * q^(nq).
>
> Mas como p e q são primos entre si, a unicidade da fatoração implica que q
> = 1 ==> p^n = n^p.
> E mais uma vez, a unicidade da fatoração implica que p = n ==> x = n, o
> que contradiz a hipótese original de ser x <> n.
> Logo, x não pode ser racional, e acabou.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes transcendentes

[Artur Costa Steiner]

Em Qui, 22 de mar de 2018 14:55, Artur Costa Steiner 
escreveu:

> OK!
>
> Ests prova vale para raízes positivas, certo? Para n par, há também uma
> raiz negativa.
>
> Para raízes positivas, eu dei uma prova um pouco deferente da sua para a
> irracionalidade de x, porque tinha provado antes que as raízes não triviais
> estão em (1, e), no qual o único inteiro é 2. Depois, também apliquei
> Gelfond Schneider.
>
> Artur
>
> Em Qua, 21 de mar de 2018 21:44, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Seja x um número real diferente de n tal que x^n = n^x  ==>  x = n^(x/n).
>>
>> Se x for transcendente, não há o que provar.
>>
>> Suponhamos, assim, que x seja algébrico.
>>
>> O teorema de Gelfond-Schneider diz que se a e b são algébricos, com a <>
>> 0, a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente.
>>
>> n é algébrico diferente de 0 e 1.
>> Assim, basta provar que x é irracional e aplicar o teorema de
>> Gelfond-Schneider (com  a = n  e  b = x/n).
>>
>> Suponhamos que x seja racional, digamos x = p/q com p e q inteiros primos
>> entre si (e q <> 0).
>> Seja log = logaritmo na base n.
>>
>> Então, log(x) = x/n  ==>  log(p/q) = p/(nq) ==> n^(p/(nq)) = p/q ==>
>> p^(nq) = n^p * q^(nq).
>>
>> Mas como p e q são primos entre si, a unicidade da fatoração implica que
>> q = 1 ==> p^n = n^p.
>> E mais uma vez, a unicidade da fatoração implica que p = n ==> x = n, o
>> que contradiz a hipótese original de ser x <> n.
>> Logo, x não pode ser racional, e acabou.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> 2018-03-21 18:17 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>>> Ah Deus! Esqueci de dizer, raízes não triviais, distintas de n.
>>>
>>> Artur Costa Steiner
>>>
>>> Em Qua, 21 de mar de 2018 18:12, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Tá certo isso? Pois, para todo n natural, n sempre é raiz de x^n = n^x.

 2018-03-21 16:45 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Mostre que, para todo inteiro n >= 3, n diferente de 4, as raízes
> reais da equação x^n = n^x são transcendentes.
>
> Artur
>
> Enviado do meu iPad
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>
> =
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes transcendentes

[Artur Costa Steiner]

OK!

Ests prova vale para raízes positivas, certo? Para n par, há também uma
raiz negativa.

Para raízes positivas, eu dei uma prova um pouco deferente da sua para a
irracionalidade de x, porque tinha provado antes que as raízes não triviais
estão em (1, e), no qual o único inteiro é 2. Depois, também apliquei
Gelfond Schneider.

Artur

Em Qua, 21 de mar de 2018 21:44, Claudio Buffara 
escreveu:

> Seja x um número real diferente de n tal que x^n = n^x  ==>  x = n^(x/n).
>
> Se x for transcendente, não há o que provar.
>
> Suponhamos, assim, que x seja algébrico.
>
> O teorema de Gelfond-Schneider diz que se a e b são algébricos, com a <>
> 0, a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente.
>
> n é algébrico diferente de 0 e 1.
> Assim, basta provar que x é irracional e aplicar o teorema de
> Gelfond-Schneider (com  a = n  e  b = x/n).
>
> Suponhamos que x seja racional, digamos x = p/q com p e q inteiros primos
> entre si (e q <> 0).
> Seja log = logaritmo na base n.
>
> Então, log(x) = x/n  ==>  log(p/q) = p/(nq) ==> n^(p/(nq)) = p/q ==>
> p^(nq) = n^p * q^(nq).
>
> Mas como p e q são primos entre si, a unicidade da fatoração implica que q
> = 1 ==> p^n = n^p.
> E mais uma vez, a unicidade da fatoração implica que p = n ==> x = n, o
> que contradiz a hipótese original de ser x <> n.
> Logo, x não pode ser racional, e acabou.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-03-21 18:17 GMT-03:00 Artur Steiner :
>
>> Ah Deus! Esqueci de dizer, raízes não triviais, distintas de n.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> Em Qua, 21 de mar de 2018 18:12, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Tá certo isso? Pois, para todo n natural, n sempre é raiz de x^n = n^x.
>>>
>>> 2018-03-21 16:45 GMT-03:00 Artur Steiner 
>>> :
>>>
 Mostre que, para todo inteiro n >= 3, n diferente de 4, as raízes
 reais da equação x^n = n^x são transcendentes.

 Artur

 Enviado do meu iPad
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  acredita-se estar livre de perigo.



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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

 =

>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes transcendentes

[Claudio Buffara]

Seja x um número real diferente de n tal que x^n = n^x  ==>  x = n^(x/n).

Se x for transcendente, não há o que provar.

Suponhamos, assim, que x seja algébrico.

O teorema de Gelfond-Schneider diz que se a e b são algébricos, com a <> 0,
a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente.

n é algébrico diferente de 0 e 1.
Assim, basta provar que x é irracional e aplicar o teorema de
Gelfond-Schneider (com  a = n  e  b = x/n).

Suponhamos que x seja racional, digamos x = p/q com p e q inteiros primos
entre si (e q <> 0).
Seja log = logaritmo na base n.

Então, log(x) = x/n  ==>  log(p/q) = p/(nq) ==> n^(p/(nq)) = p/q ==> p^(nq)
= n^p * q^(nq).

Mas como p e q são primos entre si, a unicidade da fatoração implica que q
= 1 ==> p^n = n^p.
E mais uma vez, a unicidade da fatoração implica que p = n ==> x = n, o que
contradiz a hipótese original de ser x <> n.
Logo, x não pode ser racional, e acabou.

[]s,
Claudio.


2018-03-21 18:17 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Ah Deus! Esqueci de dizer, raízes não triviais, distintas de n.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em Qua, 21 de mar de 2018 18:12, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Tá certo isso? Pois, para todo n natural, n sempre é raiz de x^n = n^x.
>>
>> 2018-03-21 16:45 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>>> Mostre que, para todo inteiro n >= 3, n diferente de 4, as raízes reais
>>> da equação x^n = n^x são transcendentes.
>>>
>>> Artur
>>>
>>> Enviado do meu iPad
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes transcendentes

[bouskela]

Olá!

Pois é, a equação a^x=x^a; sendo “a” real, positivo e maior do que zero é muito 
interessante.

1) Quando a=e, esta equação tem uma única raiz: x=e;
2) Quando a=1, esta equação tem uma única raiz: x=1;
3) Quando a=2, esta equação tem três raízes: x=2, 4 e mais uma transcendente 
(-0.746958…)
4) Quando a=4, esta equação tem três raízes: x=2, 4 e mais uma transcendente 
(-0.746958…)
5) Quando a<e, esta equação tem duas raízes: x=a e mais uma transcendente (x>e)
6) Quando a>e, esta equação tem duas raízes: x=a e mais uma transcendente (x<e)

Sds.,
Albert Bouskelá
mailto: bousk...@gmail.com 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> Em nome de Claudio 
Buffara
Enviada em: quarta-feira, 21 de março de 2018 17:51
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes transcendentes

Tá certo isso? Pois, para todo n natural, n sempre é raiz de x^n = n^x.

2018-03-21 16:45 GMT-03:00 Artur Steiner <mailto:artur.costa.stei...@gmail.com>:
Mostre que, para todo inteiro n >= 3, n diferente de 4, as raÃzes reais da 
equação x^n = n^x são transcendentes.

Artur

Enviado do meu iPad
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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acredita-se estar livre de perigo. 


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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes transcendentes

[bouskela]

Olá!

 

Pois é, a equação a^x=x^a; sendo “a” real, positivo e maior do que zero é muito 
interessante.

 

1.  Quando a=e, esta equação tem uma única raiz: x=e;
2.  Quando a=1, esta equação tem uma única raiz: x=1;
3.  Quando a=2, esta equação tem três raízes: x=2, 4 e mais uma 
transcendente (-0.746958…)
4.  Quando a=4, esta equação tem três raízes: x=2, 4 e mais uma 
transcendente (-0.746958…)
5.  Quando a<e, esta equação tem duas raízes: x=a e mais uma transcendente 
(x>e)
6.  Quando a>e, esta equação tem duas raízes: x=a e mais uma transcendente 
(x<e)

 

Sds.,

Albert Bouskelá

 <mailto:bousk...@gmail.com> bousk...@gmail.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> Em nome de Claudio 
Buffara
Enviada em: quarta-feira, 21 de março de 2018 17:51
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes transcendentes

 

Tá certo isso? Pois, para todo n natural, n sempre é raiz de x^n = n^x.

 

2018-03-21 16:45 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>:

Mostre que, para todo inteiro n >= 3, n diferente de 4, as raízes reais da 
equação x^n = n^x são transcendentes.

Artur

Enviado do meu iPad
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

 


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes transcendentes

[Artur Steiner]

Ah Deus! Esqueci de dizer, raízes não triviais, distintas de n.

Artur Costa Steiner

Em Qua, 21 de mar de 2018 18:12, Claudio Buffara 
escreveu:

> Tá certo isso? Pois, para todo n natural, n sempre é raiz de x^n = n^x.
>
> 2018-03-21 16:45 GMT-03:00 Artur Steiner :
>
>> Mostre que, para todo inteiro n >= 3, n diferente de 4, as raízes reais
>> da equação x^n = n^x são transcendentes.
>>
>> Artur
>>
>> Enviado do meu iPad
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Raízes transcendentes

[Claudio Buffara]

Tá certo isso? Pois, para todo n natural, n sempre é raiz de x^n = n^x.

2018-03-21 16:45 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Mostre que, para todo inteiro n >= 3, n diferente de 4, as raízes reais
> da equação x^n = n^x são transcendentes.
>
> Artur
>
> Enviado do meu iPad
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>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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