É isso aí. A mesma solução, só queem
linguagem decongruências.
De fato, com congruências fica até mais fácil
mostrar o seguinte:
Para todo inteiro a 2, existe um primo p tal
que:
1 + 2a + 3a^2 + ... + pa^(p-1) é composto (e
múltiplo de p).
Será que pra a = 2 também vale?
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From:
Domingos Jr.
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, May 29, 2003 3:02
PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]
Olimpíadas ao redor do mundo
Cláudio, eu tive a mesma idéia que você, mas
havia expressado de outra forma...
seja p um primo tal que a ~ 1 (mod
p)
a menos de a = 2, esse primo existe, basta pegar
um primo que divida a - 1 (como vc bem notou, esse primo existe sempre para a
2).
agora note que
1 + a + ... + a^(p-1) ~ 1 + 1 + ... + 1 = p ~ 0
(mod p)
ou seja p divide o somatório, como sabemos que p
1 + a + ... + a^(p-1), temos que o número é composto.
[ ]'s
- Original Message -
From:
Cláudio (Prática)
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, May 29, 2003 12:58
PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas
ao redor do mundo
E aí rapaziada!! Tudo bem??Alguém ai tem disposição
para pensar nesse??? Mostre que para todo inteiro a1,
existe um número primo p tal que 1+a+a^2+...+a^(n-1) é
composto.
Valeu.
Crom
*
Oi, Crom:
Imagino que você queira dizer 1 + a + ... +
a^(p-1) é composto.
Se esse for o caso, teremos:
a = 2 == 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^10 = 2^11 -1
= 23*89 == composto.
Agora, seja a um inteiro qualquer =
3.
Seja p o menor primo que divide a - 1 (como a -
1 = 2,a existência de um tal primo estará assegurada - foi por
isso que eu separei o caso a = 2).
Então, p também irá dividir a^2 - 1, a^3 - 1,
..., a^(p-1) - 1.
Só que:
(a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) =
(1 - 1) + (a - 1) +
(a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) =
(1 + a + a^2 + ... + a^(p-1)) - p, ou
seja:
1 + a + + a^(p-1) = p + (a - 1) + (a^2 -
1) + ... + (a^(p-1) - 1)
Como p divide cada parcela do lado direito (e,
portanto, sua soma), concluímos que p também dividirá o lado
esquerdo.
Como p dividea - 1, teremos que p = a
- 1 1 + a = 1 + a + ... + a^(p-1).
Logo, 1 + a + ... + a^(p-1)tempelo
menos um outro fator primo além de p ==
1 + a+ ... + a^(p-1) é
composto.
Um abraço,
Claudio.
