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2018-05-14 Por tôpico Ralph Teixeira 
Oi, Daniel.

Por que há duas opções: ou pq=k+1 e r=k-1, ou pq=k-1 e r=k+1, e subtraindo
dá pq-r=+-2. Isso vem de pqr=(k+1)(k-1) e do fato de p,q,r serem primos,
então não tem como você "separar" os fatores primos de p entre k-1 e k+1
(idem para q e r).

Bom, para ser exato, eu esqueci de considerar outras opções: poderia ser
pqr=k+1 e 1=k-1 (absurdo!) ou pqr=k-1 e 1=k+1 (mais absurdo!). Assim, dois
dos primos p,q,r têm que corresponder a um dos fatores {k+1,k-1}, e o
terceiro primo tem que ser sozinho o outro fator. Reordenando se
necessário, eu posso supor que pq é um dos fatores e r é o outro, daí minha
afirmação {pq,r}={k+1,k-1} (como igualdade de conjuntos).

Abraço, Ralph.

2018-05-14 8:55 GMT-03:00 Daniel Quevedo :

> Perfeito é essa a resposta. Só não entendi o passo pq-r =2 ou -2 . Não
> deveria ser apenas um número da forma 2Q ou -2Q, ou seja par? Pq vc afirma
> q é +-2?
>
> Em dom, 13 de mai de 2018 às 23:20, Ralph Teixeira 
> escreveu:
>
>> Ah, assim fica bem melhor.
>>
>> Temos pqr=(k+1)(k-1). Como p, q e r sao primos, entao (trocando a ordem
>> de p,q,r se necessario) {pq,r}={k+1,k-1}. Ou seja, pq-r=2 ou -2.
>>
>> Entao p+q+(pq+-2)=2001, ou seja ((p+1)/2)((q+1)/2)=501 ou 500
>>
>> As unicas fatoracoes de 501 em dois fatores sao 1.501 e 3.167, que
>> rapidamente verificam-se inuteis.
>> As unicas fatoracoes de 500 em dois fatores sao 1.500, 2.250, 4.125,
>> 5.100, 10.50, 20.25. Verificando uma a uma para ver quais dao p, q primos,
>> encontramos apenas
>> (p,q)=(3,499), portanto r=2001-p-q=1499 (ok, tambem primo) e k=r-1=1498.
>> Entao 22 eh a resposta?
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>> 2018-05-13 22:30 GMT-03:00 Daniel Quevedo :
>>
>>>
>>> Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores 
>>> escreveu:
>>>
 Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os
>>> números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares.
>>>
 Oi Daniel,

 Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos  p+q+r=2001 , pqr+1=
 100= (1000)^2.

 Ou seja, k=1000 ?

 Pacini

 Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu:



 - Mensagem encaminhada -
 De: Daniel Quevedo 
 Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54
 Assunto:
 Para: ob...@mat-puc.rio.br 


 Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e
 que k é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do
 único valor possível para k é igual a:
 A) 20
 B) 21
 C) 22
 D) 23
 E) 24
 --
 Fiscal: Daniel Quevedo
 --
 Fiscal: Daniel Quevedo

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

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2018-05-14 Por tôpico Daniel Quevedo 
Perfeito é essa a resposta. Só não entendi o passo pq-r =2 ou -2 . Não
deveria ser apenas um número da forma 2Q ou -2Q, ou seja par? Pq vc afirma
q é +-2?

Em dom, 13 de mai de 2018 às 23:20, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Ah, assim fica bem melhor.
>
> Temos pqr=(k+1)(k-1). Como p, q e r sao primos, entao (trocando a ordem de
> p,q,r se necessario) {pq,r}={k+1,k-1}. Ou seja, pq-r=2 ou -2.
>
> Entao p+q+(pq+-2)=2001, ou seja ((p+1)/2)((q+1)/2)=501 ou 500
>
> As unicas fatoracoes de 501 em dois fatores sao 1.501 e 3.167, que
> rapidamente verificam-se inuteis.
> As unicas fatoracoes de 500 em dois fatores sao 1.500, 2.250, 4.125,
> 5.100, 10.50, 20.25. Verificando uma a uma para ver quais dao p, q primos,
> encontramos apenas
> (p,q)=(3,499), portanto r=2001-p-q=1499 (ok, tambem primo) e k=r-1=1498.
> Entao 22 eh a resposta?
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2018-05-13 22:30 GMT-03:00 Daniel Quevedo :
>
>>
>> Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores 
>> escreveu:
>>
>>> Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os
>> números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares.
>>
>>> Oi Daniel,
>>>
>>> Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos  p+q+r=2001 , pqr+1=
>>> 100= (1000)^2.
>>>
>>> Ou seja, k=1000 ?
>>>
>>> Pacini
>>>
>>> Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu:
>>>
>>>
>>>
>>> - Mensagem encaminhada -
>>> De: Daniel Quevedo 
>>> Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54
>>> Assunto:
>>> Para: ob...@mat-puc.rio.br 
>>>
>>>
>>> Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que
>>> k é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único
>>> valor possível para k é igual a:
>>> A) 20
>>> B) 21
>>> C) 22
>>> D) 23
>>> E) 24
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
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>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
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>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Fiscal: Daniel Quevedo

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu

2018-05-13 Por tôpico Esdras Muniz 
Existem 85 triplas (p, q, r) com p
> Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores 
> escreveu:
>
>> Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os
> números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares.
>
>> Oi Daniel,
>>
>> Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos  p+q+r=2001 , pqr+1=
>> 100= (1000)^2.
>>
>> Ou seja, k=1000 ?
>>
>> Pacini
>>
>> Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu:
>>
>>
>>
>> - Mensagem encaminhada -
>> De: Daniel Quevedo 
>> Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54
>> Assunto:
>> Para: ob...@mat-puc.rio.br 
>>
>>
>> Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que
>> k é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único
>> valor possível para k é igual a:
>> A) 20
>> B) 21
>> C) 22
>> D) 23
>> E) 24
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu

2018-05-13 Por tôpico Ralph Teixeira 
Ah, assim fica bem melhor.

Temos pqr=(k+1)(k-1). Como p, q e r sao primos, entao (trocando a ordem de
p,q,r se necessario) {pq,r}={k+1,k-1}. Ou seja, pq-r=2 ou -2.

Entao p+q+(pq+-2)=2001, ou seja ((p+1)/2)((q+1)/2)=501 ou 500

As unicas fatoracoes de 501 em dois fatores sao 1.501 e 3.167, que
rapidamente verificam-se inuteis.
As unicas fatoracoes de 500 em dois fatores sao 1.500, 2.250, 4.125, 5.100,
10.50, 20.25. Verificando uma a uma para ver quais dao p, q primos,
encontramos apenas
(p,q)=(3,499), portanto r=2001-p-q=1499 (ok, tambem primo) e k=r-1=1498.
Entao 22 eh a resposta?

Abraco, Ralph.

2018-05-13 22:30 GMT-03:00 Daniel Quevedo :

>
> Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores 
> escreveu:
>
>> Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os
> números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares.
>
>> Oi Daniel,
>>
>> Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos  p+q+r=2001 , pqr+1=
>> 100= (1000)^2.
>>
>> Ou seja, k=1000 ?
>>
>> Pacini
>>
>> Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu:
>>
>>
>>
>> - Mensagem encaminhada -
>> De: Daniel Quevedo 
>> Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54
>> Assunto:
>> Para: ob...@mat-puc.rio.br 
>>
>>
>> Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que
>> k é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único
>> valor possível para k é igual a:
>> A) 20
>> B) 21
>> C) 22
>> D) 23
>> E) 24
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.