[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência
Temos 4^6 = 4096 = -4 (mod 100). 2^222 = 4^111 = 4^3*4^108 = 4^3*(-4)^18 = 4^3*4^18 = 4^3*(-4)^3 = -4^6 = -(-4) = 4 (mod 100) Em sáb, 11 de jan de 2020 11:30, Vanderlei Nemitz escreveu: > Está em um livro na parte de potenciação. > Mas mesmo assim, como faria com essa ideia? > > Em sáb, 11 de jan de 2020 11:18, Esdras Muniz > escreveu: > >> Acho que é d) 04 >> >> Em sáb, 11 de jan de 2020 11:01, Esdras Muniz >> escreveu: >> >>> Pode usar a função fi. >>> >>> Em sáb, 11 de jan de 2020 10:23, Vanderlei Nemitz >>> escreveu: >>> Bom dia! Eu resolvi essa questão, mas creio que trabalhei demais! Alguém conhece um modo relativamente simples? Os dois últimos algarismos de 2^222 são: a) 84 b) 24 c) 64 d) 04 e) 44 Muito obrigado! Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência
Vamos analisar 2^222 módulo 4 e módulo 25. Caso vc não seja familiar a isso, dizer a = b (mod c) significa dizer que a e b tem o mesmo resto na divisão por c. 2^222 = 0 (mod 4) 2^222 = 4^111 = (5-1)^111 Expandindo usando o binômio de newton, todos os termos são divisíveis por 25, exceto os dois últimos: (5^1)(1^110) - (5^0)(1^111) = = 5 - 1 = 4 Ou seja, 2^222 = 4 (mod 25) 04 = 0 (mod 4) e 04 = 4 (mod 25) Então os últimos dígitos são 04 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] potência
Mas e se colocarmos em questao a sequencia 0^x? Obteremos outro valor para 0^0 --- Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Para ser sincero, devo afirmar que não sei. É mais fácil perguntar lim x^x quando x-0+ que é 1 (precisa demonstrar). E quanto vale lim x^x quando x-0- ? Deve ser 1 também (precisa demonstrar). Daí poderíamos definir 0^0 como 1 para que a função x^x fosse contínua no ponto 0. Mas será que esta definição faz sentido? Isto é, será que ela não entra em contradição com alguma outra coisa? É tentador trivializar o essencial e essencializar o trivial, como diz nosso colega Paulo ... Mas, tenho a leve impressão que isso já foi deve ter sido perguntado (e portanto presumo que deve haver alguma mensagem antiga com a resposta). []s - Original Message - From: Guilherme Neves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, June 22, 2005 6:13 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] potência os livros dizem que a propriedade a^m-n= a^m/a^n só é válida se a é diferente de 0. e a pergunta continua.. 0^0=1 ou 0^0 não existe? - O correto é não existe. 0^0 = 0^(1-1) = 0^1/0^1 = 0/0 (pela lei das potências). O que é um absurdo pois não existe divisão por zero. []s Ronaldo Luiz Alonso -- MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] potência
Para ser sincero, devo afirmar que não sei. É mais fácil perguntar lim x^x quando x-0+ que é 1 (precisa demonstrar). Equanto vale lim x^x quando x-0- ? Deve ser 1 também (precisa demonstrar). Daí poderíamos definir 0^0 como 1 para que a função x^x fosse contínua no ponto 0. Mas será que esta definição faz sentido? Isto é, será que ela não entra em contradição com alguma outra coisa? É tentadortrivializar o essencial e essencializar o trivial, como diz nosso colega Paulo ... Mas, tenho a leve impressão que isso já foideve ter sido perguntado (e portanto presumo que deve haver alguma mensagem antiga com a resposta). []s - Original Message - From: Guilherme Neves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, June 22, 2005 6:13 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] potência os livros dizem que a propriedade a^m-n= a^m/a^n só é válida se a é diferente de 0. e a pergunta continua.. 0^0=1 ou 0^0 não existe? - O correto é não existe. 0^0 = 0^(1-1) = 0^1/0^1 = 0/0 (pela lei das potências). O que é um absurdo pois não existe divisão por zero. []s Ronaldo Luiz Alonso MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
Hehehe, para variar, eu não acerto nem de segunda... Vc está certo, Bruno, S_3 = 2 (fiquei com o f(3) na cabeça...), e então basta acrescentar 2^9 ao meu resultado anterior, obtendo S_1023 = 2^19 - 3*2^11 + 2^9 = 518656, e finalmente nossas respostas coicidem! []s, Daniel ''-- Mensagem Original -- ''Date: Mon, 23 May 2005 00:39:11 -0300 ''From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''S_3 = f(1) + f(2) + f(3) ''f(1) = 0 ''f(2): 2! = 2, == f(2) = 1 ''f(3): 3! = 3, == f(3) = 1 ''Logo S_3 = 0 + 1 + 1 = 2. ''(isso pq na ultima passagem vc usa sabendo que S_3=1) ''Não vi o resto, Daniel. Será que arrumando isso chegaremos na mesma ''resposta? '' ''Veja aí, estou morrendo de sono! Até amanhã! '' ''Abraço! ''Bruno '' ''On 5/22/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: '' '' Na minha resolução anterior, eu acabei confundindo D_x = 1 + 2 + ... + ''2^x '' por não ter escrito D_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x, e acabei, em vez '' de somando de 1 a 2^x, pegando apenas as potências de 2... Por isso o '' erro! '' '' Espero ter consertado... abaixo, a resolução devidamente alterada. Agora '' encontrei S_1023 = 2^19 - 3*2^11 = 518144, que é algo mais próximo da '' estimativa '' numérica do Bruno, e me parece estar tudo certo desta vez. '' '' Ok! '' '' Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n), '' e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou '' iguais '' a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k=x implica ''B_k '' = 0). '' '' Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto é, o único '' inteiro tal que B_k = n/2^k B_k + 1, temos f(n) = [n/2] + [n/2^2] + '' '' [n/2^3] '' + ... . Por essa razão, f(2n + 1) = f(2n) = n + [n/2] + [n/2^2] + ... = '' n + f(n), logo S_(2^k + 1) = f(1) + ... + f(2^k + 1) = 2*(f(2) + f(4) + '' f(6) + ... + f(2^k)) = 2*( 1 + f(1) + 2 + f(2) + ... + 2^(k-1) + '' f(2^(k-1))) '' = 2*S_(2^(k-1)) + 2*D_(k-1), onde D_(x) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x. '' '' Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)), '' assim chegamos a S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2*(D_(k-1) - '' f(2^(k-1))). '' '' Tem-se f(2^(k-1)) = [2^(k-1)/2] + [2^(k-1)/2^2] + ... = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 '' + ... + 2^(k-2) = 2^(k-1) - 1, assim temos D_(k-1) - f(2^(k-1)) = '' 2^(k-2)*(2^(k-1) '' + 1) - 2^(k-1) + 1. '' '' Segue que S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + (2^(k-1) - 1)^2 + 2^(k-1) + '' 1. '' '' A idéia então é calcular S_1023 usando S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = '' S_(2^10 '' + 1) - 2*f(2^10). Aplicando repetidamente o raciocínio de há pouco, '' chegaremos '' a '' '' S_1025 = 2^9*S_(3) + (2^9 + 1) + 2*(2^8 + 1) + 2^2*(2^7 + 1) + ... + '' 2^8*(2 '' + 1) + (2^9 - 1)^2 + 2*(2^8 - 1)^2 + 2^2*(2^7 - 1)^2 + ... + 2^8*(2 - '' 1)^2. '' '' Após algumas manipulações e sabendo que S_3 = 1, chegamos a S_1025 = 2^19 '' - 2^12 - 2. Como f(1024) = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^9 = 2^10 - 1, vem que '' '' S_1023 '' = S_1025 - 2*f(1024) = 2^19 - 3*2^11 = 518144. '' '' [], '' Daniel '' '' '' '' = '' Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em '' http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html '' = '' '' '' '' ''-- ''Bruno França dos Reis ''email: bfreis - gmail.com http://gmail.com ''gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key ''icq: 12626000 '' ''e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
