A propriedade de reflexão na elipse é outra consequência interessante da
desigualdade triangular e, mais precisamente, da solução do problema de achar o
caminho mais curto entre os pontos A e B tocando uma reta dada (A e B estando
num mesmo semiplano determinado pela reta).
No fim, o caminho obedece: ângulo de incidência = ângulo de reflexão.
Isso está bem explicado no livro What is Mathematics? de Courant e Robbins, no
capítulo que trata de máximos e mínimos.
Assim, na elipse com focos A e B contendo o ponto O, uma reta r por O é
tangente a elipse se e somente se AO e BO fazem o mesmo ângulo com r se e
somente se a bissetriz de AOB é perpendicular a r.
O problema do Ralph se reduz a achar a tangente comum às duas elipses. E, pela
propriedade de reflexão, a bissetriz comum dos ângulos AOB e COD (que são
opostos pelo vértice) é perpendicular à tangente comum.
Abs,
Claudio.
Enviado do meu iPhone
Em 12 de mar de 2018, à(s) 21:41, Anderson Torres
escreveu:
> Em 11 de março de 2018 22:37, Ralph Teixeira escreveu:
>> ...e portanto a elipse de focos A e B passando por O tem que ser tangente aa
>> elipse de focos C e D passando por O Fica como exercicio pensar o que
>> uma coisa tem a ver com a outra.
>
> Heuristicamente, eu chutaria que se tais elipses se cortassem em mais
> de um ponto,
> existiria outro ponto no interior das regiões que teria soma menor.
> Talvez o ponto médio...
>
>>
>> (O que podia ser visto de outras formas, diga-se de passagem, se voce sabe
>> que a normal a tal elipse eh a bissetriz de AOB).
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>>
>>
>> 2018-03-11 20:29 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>>
>>> É isso aÃ!
>>> Uma aplicação simples mas elegante da desigualdade triangular.
>>> E o ponto O não parece ser tão difÃcil de conjecturar. Afinal, o ponto de
>>> intersecção das diagonais talvez seja o “ponto notávelâ€
>>> mais óbvio de um quadrilátero (certamente é o mais fácil de construir -
>>> duas aplicações da régua e nenhuma do compasso).
>>>
>>> E quando, digamos, o vértice D tende ao vértice C do quadrilátero, o
>>> ponto
>>> O de intersecção das diagonais não tende ao ponto de Fermat do
>>> triângulo ABC
>>> pois este é o que tem a menor soma das distâncias aos vértices enquanto
>>> que
>>> O, no limite, minimiza a soma PA + PB + 2PC.
>>>
>>> Enviado do meu iPhone
>>>
>>> Em 11 de mar de 2018, Ã (s) 17:20, Douglas Oliveira de Lima
>>> escreveu:
>>>
>>> Seja o quadrilátero ABCD cujas diagonais são AC e BD, e O o ponto de
>>> intersecção das diagonais.Â
>>> Seja também um ponto P em seu interior e as distâncias PA, PB, PC, PD,
>>> temos por desigualdade triângularÂ
>>> que PA+PC>=AC e PB+PD>=BD. Claramente vemos que o ponto P coincide com o
>>> ponto O quando a soma das diagonaisÂ
>>> coincide com a igualdade. Desta forma o ponto procurado é o encontro das
>>> diagonais.
>>>
>>>
>>> Forte abraço.
>>> Douglas Oliveira.Â
>>>
>>> Em 10 de março de 2018 21:07, Claudio Buffara
>>> escreveu:
Aqui vai um bonitinho que eu nunca tinha visto:
Dado um quadrilátero convexo, determine o ponto cuja soma das
distâncias aos vértices do quadrilátero é mÃÂnima.
Interessante que quando a distância entre dois vértices adjacentes
dados tende a zero (e o quadrilátero “tende†a um
triângulo), o ponto
de mÃÂnimo não parece tender ao ponto de Fermat do triângulo
(exceto
quando o triângulo tem um ângulo >= 120 graus.
Abs,
Claudio.
Enviado do meu iPhone
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 acredita-se estar livre de perigo.
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Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
>>>
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> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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