[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Construção Geométrica

[Rogerio Ignacio]

Eu concordo que sim.
Considerando dois vértices coincidentes, teríamos os três alinhados e
satisfazendo as condições do problema.

Em 14 de agosto de 2017 09:23, Ralph Teixeira  escreveu:

> Ah, bem observado! De fato, eu SUPUS que CD corta OA e OB, o que nao
> estava explicito no problema.
>
> Caso CD nao corte OA e OB, serah que a resposta eh mesmo o triangulo
> degenerado POP?
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2017-08-14 5:43 GMT-03:00 Rogerio Ignacio :
>
>> Observo que,, nas condições do problema, med(Ô) < 90º
>>
>> Em 13 de agosto de 2017 21:50, Ralph Teixeira 
>> escreveu:
>>
>>> Sejam C e D os simetricos de P com relacao a OA e OB, respectivamente.
>>>
>>> Dados pontos X e Y quaisquer em OA e OB, note que o perimetro do
>>> triangulo PXY serah:
>>>
>>> PX+XY+YP = CX + XY + YD
>>>
>>> Mas CX+XY+YD<=CD, com igualdade se e somente se C,X,Y e D estao em linha
>>> reta. Entao a solucao eh usar os pontos X e Y onde a reta CD corta OA e OB,
>>> respectivamente.
>>>
>>> Abraco, Ralph.
>>>
>>>
>>>
>>> 2017-08-13 18:54 GMT-03:00 Marcelo de Moura Costa :
>>>

 Boa noite a todos,

 Estou com o seguinte problema de construção geométrica, proposto pelo
 programa Euclidea (adaptei o enunciado):

 Dado um ângulo AOB, e um ponto P interno ao ângulo, construa um
 triângulo com vértice em P e nas semirretas do ângulo OA e OB de maneira
 que o perímetro seja mínimo.

 Já pensei na solução de Heron para o problema dos dois pontos do mesmo
 lado da reta, mas não saiu nada.

 Agradeceria muito a atenção dos colegas.

 Abraços


 
  Livre
 de vírus. www.avast.com
 .

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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989

[Sergio Lima]

Caro Luís Lopes,

Tem a solução dessa prova no site do rumo_ao_ita fornecida pelo Colegio
ETAPA
(eu deveria ter colocado a fonte na mensagem anterior - obrigado por me
lembrar).

Abraco,
sergio



2013/7/1 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com

 Sauda,c~oes, oi Sergio,

 No google triangle construction given H_a,W_a,O aparecem outras
 soluções e comentários.

 Qual a fonte da sua construção ?

 Abs,
 Luis

 --
 Date: Mon, 1 Jul 2013 09:58:53 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica
 (triângulos) ITA 1989
 From: sergi...@smt.ufrj.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Caros,

 Complementando entao a resposta do Luís Lopes,
 aqui vai a solução do problema:


 ANÁLISE DO PROBLEMA:

 Seja M a projeção de O na reta suporte de DH.
 Supondo a solução do problema conhecida,
 seja M´ a interseção de OM com a circunferência circunscrita.

 Por uma análise angular simples é possível concluir que
 AOM' = (A + 2B) [ou (A + 2C)], de modo que OAM' = OM'A = (C-B)/2
 [ou (B-C)/2]. Assim, AM' é a própria bissetriz interna do ângulo A
 no triângulo desejado ABC, e, por isso mesmo, D pertence a AM'.

 No triângulo AOM', com OA = OM', seja P1
 a altura do vértice O relativa ao lado AM'. Assim, temos duas propriedades
 que nos permitem determinar o ponto P1:

 (i) Como AOM' é isósceles, OP1 é perpendicular a AM' (e a AD).
 Assim, OP1D = 90 graus, de modo que P1 pertence à circunferência de
 diâmetro OD.

 (ii) Como AOM' é isósceles, P1 é o ponto médio de AM'. Como OM' é paralela
 a AH (ambas são perpendiculares à reta suporte de DH), P1
 pertence à reta paralela a essas duas retas (OM' e AH) passando pelo ponto
 médio
 de HM.


 CONSTRUÇÂO

 (i) trace a circunferência C1 de centro O1 e raio OO1, onde O1 é o ponto
 médio de OD,
 determinando a interseção M (ponto médio do lado BC) sobre a reta suporte
 de DH.
 (ii) trace a perpencidular p à reta suporte de DH pelo ponto médio P de MH,
 determinando sobre C1 a(s) interseção(ões) P1 (e P2).
 (iii) prolongue DP1, determinando o vértice A sobre a perpendicular a DH
 por H.
 (o prolongamento de DP2 gera uma outra solução para o vértice A).
 (iv) trace a circunferência de centro O e raio OA circunscrita ao
 triângulo,
 determinando os outros dois vértices B e C sobre a reta suporte de DH.

 OBS 1: É possível ter 0/1/2 solução(ões) para o vértice A,
 dependendo se a reta p não-intercepta/tangencia/é-secante a C1.

 OBS 2: Os vértices B e C podem ser intercambiados.

 Abracos,
 sergio


 2013/6/26 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com

 Sauda,c~oes, oi Sergio,

 Sim, continuo na lista.

 Caiu no ITA, foi? Bom saber.

 Gosto mesmo destes problemas. Vou mandar em seguida mais
 um, que acabo de conhecer. Problema (presente) de grego.

 ===
 Eu não consegui, mas obtive a solução na internet
 (a qual envio numa próxima mensagem).
 ===
 Fico curioso. Conseguir como? Com o Google?? E e e ???

 Para construir o triângulo, precisamos conhecer um resultado
 fundamental: a bissetriz ASa é bissetriz também do ângulo
 HaAO.

 Outro fato, esse elementar: a reta (A , Ha) é perpendicular â reta
 (Ha , Sa).

 Ultima dica: pense num circulo e numa reta espertos .

 Valeu Sergio pelo problema.

 Abs,
 Luis


 --
 Date: Wed, 26 Jun 2013 08:01:02 -0300
 Subject: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989
 From: sergi...@smt.ufrj.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Essa é em homenagem ao Luís Lopes e ao E. Wagner
 (não sei se ainda acompanham a lista):

 Construa o triângulo ABC dados em posição:
 . o pé Ha da altura do vértice A em relação ao lado BC.
 . a interseção Sa da bissetriz do ângulo A com o lado BC.
 . o circuncentro O do triângulo.

 Eu não consegui, mas obtive a solução na internet
 (a qual envio numa próxima mensagem).

 Abraço,
 sergio


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