[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
Vamos lá: 333^555 + 555^333 = 111^555 * 3^555 + 111^333 * 5^333 = 111^333 * 111^222 * 3^555 + 111^333 * 5^333 -- Como 97 é primo, pelo pequeno teorema de fermat, temos que: x^96 == 1 (mod 97). Como 111 == 15 (mod 96) e 111 == 14 (mod 97), temos que: 111^111 == 14^15 (mod 97). Mas, 14^2 == 2 (mod 97), então: 14^15 == 2^7 * 14 (mod 97) == 46 Então: 111^111 == 46 (mod 97). Assim, 111^222 == 46^2 == 79 (mod 97). Por fim, 111^333 == 46^3 == 79*46 == 45 (mod 97). -- Voltando, temos: 111^333 * 111^222 * 3^555 + 111^333 * 5^333 == 45 * 79 * 3^555 + 45 * 5^333 (mod 97). -- Como 555 == 75 (mod 96), temos: 3^555 == 3^75 (mod 97) 3^5 = 243 == 49 (mod 97), então: 3^75 == 49^15 (mod 97) 49^2 == 73 (mod 97), então: 49^15 == 73^7 * 49 (mod 97) 73^2 == 91 (mod 97), então: 73^7 * 49 == 91^3 * 73 * 49 == 70 (mod 97) Enfim, 3^555 == 70 (mod 97) Como 333 == 45 (mod 96), temos 5^333 == 5^45 (mod 97) 5^4 = 625 == 43 (mod 97), então: 5^45 == 43^11 * 5 (mod 97) 43^2 == 6 (mod 97), então: 43^11 * 5 == 6^5 * 43 * 5 = 36*36*6*43*5 == 45 (mod 97) Enfim, 5^333 == 45 (mod 97) -- Novamente, voltando, temos: 45 * 79 * 70 + 45 * 45 (mod 97). Agora ficou fácil, hehe. =] Concluindo, ficamos com 333^555 + 555^333 == 33 (mod 97). Abraços, Salhab 2012/3/24 Vanderlei * vanderma...@gmail.com *é mesmo? Então o enunciado está errado? Essa questão está no material do Poliedro, caderno do ITA número 1. * Em 24 de março de 2012 18:59, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2012/3/24 Vanderlei * vanderma...@gmail.com: Pois é caro João, eu também cheguei nesse seu resto de 45. Mas vamos continuar na luta, alguma saída deve ter! A sua ideia parece ser muito boa, uma vez que o primeiro resultado é verdadeiro! O Maple 10 acha que 333^555 + 555^333 mod 97 = 33... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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*obrigado Marcelo! Então o enunciado está errado mesmo! 97 não divide a soma! * 2012/3/25 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Vamos lá: 333^555 + 555^333 = 111^555 * 3^555 + 111^333 * 5^333 = 111^333 * 111^222 * 3^555 + 111^333 * 5^333 -- Como 97 é primo, pelo pequeno teorema de fermat, temos que: x^96 == 1 (mod 97). Como 111 == 15 (mod 96) e 111 == 14 (mod 97), temos que: 111^111 == 14^15 (mod 97). Mas, 14^2 == 2 (mod 97), então: 14^15 == 2^7 * 14 (mod 97) == 46 Então: 111^111 == 46 (mod 97). Assim, 111^222 == 46^2 == 79 (mod 97). Por fim, 111^333 == 46^3 == 79*46 == 45 (mod 97). -- Voltando, temos: 111^333 * 111^222 * 3^555 + 111^333 * 5^333 == 45 * 79 * 3^555 + 45 * 5^333 (mod 97). -- Como 555 == 75 (mod 96), temos: 3^555 == 3^75 (mod 97) 3^5 = 243 == 49 (mod 97), então: 3^75 == 49^15 (mod 97) 49^2 == 73 (mod 97), então: 49^15 == 73^7 * 49 (mod 97) 73^2 == 91 (mod 97), então: 73^7 * 49 == 91^3 * 73 * 49 == 70 (mod 97) Enfim, 3^555 == 70 (mod 97) Como 333 == 45 (mod 96), temos 5^333 == 5^45 (mod 97) 5^4 = 625 == 43 (mod 97), então: 5^45 == 43^11 * 5 (mod 97) 43^2 == 6 (mod 97), então: 43^11 * 5 == 6^5 * 43 * 5 = 36*36*6*43*5 == 45 (mod 97) Enfim, 5^333 == 45 (mod 97) -- Novamente, voltando, temos: 45 * 79 * 70 + 45 * 45 (mod 97). Agora ficou fácil, hehe. =] Concluindo, ficamos com 333^555 + 555^333 == 33 (mod 97). Abraços, Salhab 2012/3/24 Vanderlei * vanderma...@gmail.com *é mesmo? Então o enunciado está errado? Essa questão está no material do Poliedro, caderno do ITA número 1. * Em 24 de março de 2012 18:59, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2012/3/24 Vanderlei * vanderma...@gmail.com: Pois é caro João, eu também cheguei nesse seu resto de 45. Mas vamos continuar na luta, alguma saída deve ter! A sua ideia parece ser muito boa, uma vez que o primeiro resultado é verdadeiro! O Maple 10 acha que 333^555 + 555^333 mod 97 = 33... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
