Oi Bernardo e Douglas,
Muito agradecido. --- Em dom, 4/3/12, Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com> escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Série numérica Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 4 de Março de 2012, 14:33 2012/3/4 Fabio Bernardo <prof_fabioberna...@yahoo.com.br> > > Preciso de uma ajuda: > > O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2005 - 1/2006 é igual a: > > a) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2006 > > b) 1/1004 + 1/1005 + ... + 1/2006 > > c) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2007 > > d) 1/1004 + 1/1005 + ... + 1/2007 > > e) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2005 Menor idéia... Mas um problema como esse obviamente não tem nada a ver com 2006. Vamos trocar isso por números menores então! 1 - 1/2 = 1/2 (fácil) 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 = 1/2 + 1/12 (fácil, mas 12 é meio "grande") 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 = 1/2 + 1/12 + 1/30 (hum, não vai simplificar) Bom, infelizmente, isso não tem chance de dar muito certo porque os denominadores estão muito maiores. Pensando outra vez. O primeiro deu 1 - 1/2 = 1/2, ou seja, pegamos o último elemento. Será que dá pra melhorar o segundo? Dá sim: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 = 1/2 + 1/3 - 1/4 = 1/3 + 1/2 - 1/4 = 1/3 + 1/4. Legal, pegamos os dois últimos. E tem de 1 até 2*2 no denominador. Será que dá pra generalisar? Deveria, né? Chame S_n = 1 - 1/2 + ... +1/(2n -1) - 1/(2n). A gente provou que S_1 = 1/2 S_2 = 1/3 + 1/4 e fazendo as contas, S_3 = 1/4 + 1/5 + 1/6 Seja então R_n = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) Temos S_n = R_n para n = 1, 2, 3. Vejamos a indução: S_(n+1) = S_n + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) = R_n + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) Mas R_n começa com 1/(n+1), que absorve o 1/(2n+2) "tornando-o positivo". Assim, S_(n+1) = R_n - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) = R_(n+1) Acabou !! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================