ok
On Sun, Nov 10, 2019 at 1:26 PM Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> wrote:
> Aproveito para repassar o email do Luís, com as correções que ele
> efetuou sobre meu rascunho e, mais importante, a motivação do
> problema.
>
> On Wed, Nov 6, 2019 at 8:42 PM Luís Lopes wrote:
> >
> > Sauda,c~oes, oi Bernardo,
> >
> > Alguns comentários preliminares:
> >
> > 1) obrigado ao Bernardo pelo tempo e paciência. Não é a primeira vez.
> >
> > 2) x em p(x) representa o comprimento do lado na resolução algébrica
> do
> > problema "construir ΔABC dados ou ".
> >
> > A construção geométrica é interessante e admite duas soluções
> (triângulos).
> > Mas apareceram dois outros triângulos estranhos (o lado é negativo) e
> > então algebricamente um polinômio de grau 4 vai aparecer. Daí o
> surgimento
> > e interesse em p(x).
>
> Uma pergunta: se existe uma construção geométrica para duas raízes
> (pelo menos no caso em que há solução), isso não implica que deve
> haver uma fatoração construtível deste polinômio? Não sou
> especialmente versado em construtibilidade, mas como já haverá um
> fator q(x) construtível de grau 2, a divisão p(x)/q(x) também será, e
> o quociente tendo grau 2 também implica que as raízes são
> construtíveis. Claro que pode ser mais interessante fatorar antes de
> construir as raízes, mas se for o único caminho para obter as 2
> outras...
>
> > 3) análise de p(x) mostra que não adianta procurar por mais de duas
> soluções,
> > ou seja, o problema admite 0, 1 ou 2 soluções.
> >
> > 4) com dados construtíveis, as raízes de p(x) são construtíveis também,
> ou seja,
> > p(x) admite soluções com \sqrt{} somente.
> >
> > 5) p(x) é fatorável como produto de dois polinômios quadráticos.
> >
> > 6) a cúbica resolvente de p(x) possui sempre uma raiz racional.
> >
> > Fim dos comentários.
> >
> > No teste
> >
> > 3) h=4sqrt(3); m=(3/2)sqrt(3); s=13
> > já sabemos que as raízes serão complexas pois h>2m. A fatoração
> anuncia-se
> > complicada.
> >
> > p(x) = 9x^4 + 156x^3 + 160x^2 - 7384x + 20164 = (Ax^2 + Bx + C)(Dx^2 +
> Ex + F)
> >
> > só consegui fazendo A=3 e em seguida resolvendo o sistema que surge
> igualando
> > os outros coeficientes. B,D=3,E são camaradas. C,F assustadores:
> >
> > B = 26 - sqrt(2 (511 + sqrt(317905)))
> > C = 1/78 (6578 + 26 sqrt(317905) - sqrt(2) (511 + sqrt(317905))^(3/2) +
> 684 sqrt(2 (511 + sqrt(317905
> > E = 26 + sqrt(2 (511 + sqrt(317905)))
> > F = 1/78 (6578 + 26 sqrt(317905) + sqrt(2) (511 + sqrt(317905))^(3/2) -
> 684 sqrt(2 (511 + sqrt(317905
> >
> > E estes valores não são únicos. Se numericamente foi trabalhoso
> simbolicamente seria
> > ainda mais.
>
> De fato! Volto aqui a fazer propaganda do python: a biblioteca sympy
> tem uma boa coleção de algoritmos para manipulações simbólicas (sendo
> útil inclusive para gabaritar provas de Cálculo I ;-)), com código
> aberto, e várias pérolas da matemática até "contemporânea", como um
> algoritmo de cálculo de limites com garantia de terminação finita para
> uma classe relativamente grandes de expressões.
>
> > >Juntando tudo, temos (3x^2 + uE + uY)(3x^2 + E + Y/u) = seu polinômio,
> e temos ("de fato")
> > >apenas uma incógnita.
> > Aqui teve um typo: (3x^2 + uEx + uY)(3x^2 + Ex + Y/u)
>
> Isso, obrigado!
>
> > Daqui pra baixo me perdi.
>
> Mas adivinhou o caminho ;-)
>
> > >Aí eu pedi para o computador calcular as raízes E do polinômio (de
> > >quarto grau) que fica determinado pela equação do termo x^2.
> > Que polinômio é esse ?
> > 3Y/u + uE^2 + 3uY com (u + 1)E = 4s e aparece um E^4. É isso ?
>
> Isso, porque u = 4s/E - 1, e 1/u vai dar um termo com (4s - E) no
> denominador, daí ao eliminar ambos o E^2 vai ter dois fatores com E a
> mais.
>
> > >Deu o seguinte:
> >
> > 2*s +/- 2*sqrt(2)*sqrt(-h**2 + m**2 + s**2 +/- sqrt(h**4 - 2*h**2*m**2
> > - h**2*s**2 + m**4 - 2*m**2*s**2 + s**4))
> >
> > Se você chamar T = m^2 + s^2 - h^2, dá para ficar mais bonitinho:
> >
> > 2s +/- 2sqrt(2)*sqrt(T +/- sqrt(T^2 - 4 m^2 s^2))
> > >
> > São quatro valores. Posso pegar qq um ? Digamos
> > E_1 = 2s + 2sqrt(2)*sqrt(T + sqrt(T^2 - 4 m^2 s^2)). Aí acho u_1 =
> 4s/E_1 - 1.
> >
> > E encontro p(x) = (3x^2 + u_1E_1x + u_1Y)(3x^2 + E_1x + Y/u_1).
> > Seria isso ?
>
> Acho que pode pegar o que você quiser sim, a fatoração deveria ser "a
> mesma" (as raízes conjugadas vêm juntas, então ao conjugar o E_1 em
> E_j deveria aparecer a raiz conjugada junto e, a menos de permutação,
> seria igual). Talvez precise de um pouco mais de formalização neste
> argumento (quando justamente as raízes não forem conjugadas complexas)
> mas acho que dá certo.
>
> > Abraços,
> > Luís
>
> Grande abraço,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>
