Seja f: R --> R , uma função definida por :
(x+a)/(x+b) , se x é diferente de -b
f(x) =
-1 , se x é igual a -b
Se f(f(x)) = x , para todo x real , encontre o valor de ab .
f(1)=(a+1)/(1+b)
1=((a+1)/(1+b)+a)/((a+1)/(b+1)+b)
1=(a+1+a+ab)/(a+1+b^2+b)
-1=(a-1+ab-a)/(a-1+b^2-b)
2+2b=2a+2ab
1+b=a+ab
0=(a+ab)/(a+b^2)
a(1+b)=0
a=0
b=-1
2014-09-19 0:04 GMT-03:00 Listeiro 037 <listeiro_...@yahoo.com.br>:
>
> Eu fui direto ao cálculo de f(f(x)) = x. Nisto
>
> (((x+a)/(x+b))+a)/(((x+a)/(x+b))+b)=x, substituições sucessivas.
>
> Fiz sem levar em conta o f(-b) = -1.
>
> Existe uma teoria que usa uma notação matricial em expressões do tipo
> (ax+b)/(cx+d), melhor (az+b)/(cz+d), que embora o contexto seja de
> números complexos, dá certo usar produtos sucessivos de matrizes no
> caso de em (ax+b)/(cx+d) querer substituir x por (a'x'+b')/(c'x'+d').
> Com x diferente de (-d/c) e x' diferente de (-d'/c'), que é onde o
> denominador se anula.
>
> (ax+b)/(cx+d) em forma de matriz fica
>
> [a b]
> [c d]
>
>
> (x+a)/(x+b) em forma de matrix fica
>
> [1 a]
> [1 b]
>
> apenas x fica
>
> [1 0]
> [0 1]
>
> que é (x+0)/(0x+1)
>
> Neste caso, aqui no problema proposto encontrei a=0 e b=-1, sem
> considerar f(-b).
>
>
> Em Thu, 18 Sep 2014 12:58:20 -0300
> Gabriel Lopes <cronom...@gmail.com> escreveu:
>
> > Fiquei sem entender sua explicação , poderia elaborar um pouco mais?
> >
> > Pensei no seguinte:
> >
> >
> > Observe que :
> >
> > (x+a)/(x+a) = 1 , se x é
> > diferente de -b
> > a = b ==> f (x) =
> > -1 , se x é
> > igual a -b
> >
> >
> >
> > Temos então uma contradição pois : f(f(x)) = x . Donde a é
> > diferente de b .
> >
> >
> > Mas :
> >
> > f(f(-a)) = f(0) = -a , (substituindo em : (x+a)/(x+b) ) .
> >
> > e:
> >
> > f(f(-b)) = f(-1) = -b
> >
> >
> > Donde:
> >
> > (a/b) = -a , se 0 é diferente de -b
> > f(0) =
> > -1 = -a , se 0 é igual a -b .
> >
> >
> > Portanto :
> >
> > f(f(-a)).f(f(-b)) = (-a).(-b) = ab = f(0).(-b) , donde:
> >
> >
> > ab = -a , se 0 é diferente de -b
> >
> > ab = a.0 = b = -1(-b) = 0 , se 0 é igual a -b .
> >
> >
> > Em 18 de setembro de 2014 06:07, Listeiro 037
> > <listeiro_...@yahoo.com.br> escreveu:
> >
> > >
> > > A função aplicada à ela mesma. Pode ser feito assim?
> > > Produto de duas matrizes 2x2 igualado à matriz identidade 2x2?
> > >
> > > [1 a; 1 b] [1 a; 1 b] = [1 0; 0 1]
> > >
> > > [1 a] [1 a] [1 0]
> > > [1 b] [1 b] [0 1]
> > >
> > > [1+a a+ab; 1+b a+b^2]
> > >
> > > [1+a a+ab ]
> > > [1+b a+b^2]
> > >
> > > Aparentemente a=0 e b=1.
> > >
> > >
> > > Em Wed, 17 Sep 2014 09:30:08 -0300
> > > Gabriel Lopes <cronom...@gmail.com> escreveu:
> > >
> > > > Seja f: R --> R , uma função definida por :
> > > >
> > > >
> > > > (x+a)/(x+b) , se x é diferente de -b
> > > > f(x) =
> > > > -1 , se x é igual a -b
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Se f(f(x)) = x , para todo x real , encontre o valor de ab .
> > > >
> > >
> > >
> > > --
> > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > > acredita-se estar livre de perigo.
> > >
> > >
> > >
> =========================================================================
> > > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > >
> =========================================================================
> > >
> >
>
>
> --
> Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of
> the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security
> is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. —
> Edward Snowden
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
