[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica!
Essa questão é um pouco mais esquisita do que parece. Vamos fazer i^i = exp(i*ln(i)) e calcular ln(i) por exp(i*t) = cos(t) + i*sen(t): exp(i*2k*Pi/2) = i == ln(i) = i*k*Pi (k natural) Então i^i = exp(i*i*k*Pi) = exp(-k*Pi) É real, mas é meio estranho pois tem aquela velha história do ln(z) não estar bem definida para z complexo, com seu valor dependendo do corte que fizermos no plano complexo. Henrique. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, April 17, 2004 2:18 AM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica! Ja que voce tocou nesta formula...Prove que i^i eh real ! Nao eh complicado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica!
Carlos,
A seguir, eu apresento a minha resolução para o problema.
Analisando-a você poderá encontrar alguns pequenos problemas na sua
resolução. Observe que as duas resoluções são bem similares.
Questão:
Resolva em R, a seguinte equação.
2.sen(x).|sen(x)| + 3.sen(x) = 2
**
Resolução:
**
Considerando y = sen(x), teremos:
2.y.|y| + 3.y = 2 = 2.y.|y| + 3.y - 2 = 0
Pela definição de módulo de um número real, podemos dizer que:
|y| = y, se y = 0
|y| = -y, se y 0
Para y = 0:
2.y^2 + 3.y - 2 = 0
discriminante = 9 + 16 = 25
y = (-3 - 5) / 4 = y = -2 (não satisfaz a condição y = 0)
ou
y = (-3 + 5) / 4 = y = 1/2 (satisfaz a condição y = 0)
Para y 0:
---
-2.y^2 - 3.y - 2 = 0 = 2.y^2 + 3.y + 2 = 0
discriminante = 9 - 16 = -7 (a equação não tem raízes reais)
Portanto, concluímos que um único valor de y satisfaz a equação 2.y.|y| +
3.y = 2: y = 1/2
Como y = sen(x), teremos:
sen(x) = 1/2 = x = +-pi/6 + 2k.pi, com k inteiro.
Resposta: S = {x pertencente a R | x = +-pi/6 + 2k.pi, com k inteiro}
Observações:
O conjunto solução:
S = {x pertencente a R | x = +-pi/6 + 2k.pi, com k inteiro}
é equivalente ao conjunto solução dado pelo seu livro:
V = {x pertencente a R | x = pi/6+2kpi ou x = 5pi/6+2kpi, com k inteiro}
Na realidade, a solução y = -2 não pode ser levada em consideração porque
não satisfaz a condição colocada inicialmente, ou seja, y = 0.
Mesmo que y = -2 fosse uma solução satisfatória, nós teríamos que:
sen(x) = -2, o que é impossível no campo dos reais.
Seja a função f: R - R, tal que f(x) = sen(x), nós teremos que o conjunto
imagem é dado por: Im(f) = [-1, 1], como você havia citado. Ou seja,
qualquer que seja o x real, sempre teremos -1 = sen(x) = 1. Portanto,
todas as soluções que estão fora deste intervalo devem ser desconsideradas,
como você observou no livro.
A sua conclusão colocada abaixo é correta.
sen(x) = -2 como,
sen(x) = -2.sen(pi/2)
Porém, esta outra forma de escrever não muda em nada a questão da
impossibilidade de se encontrar um x real tal que sen(x)=-2.sen(pi/2)=-2.
Apenas por curiosidade, a equação sen(x) = -2 tem solução no campo dos
números complexos (C). Porém, a resolução em C seria diferente desta
apresentada, uma vez que no conjunto dos números complexos não há relação de
ordem. Portanto, não teria sentido considerar y = 0 ou y 0 com y
complexo.
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Sent: sexta-feira, 16 de abril de 2004 13:36
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica!
Se voce definir seno em complexos fica facil.Acho que e^it=cos t+ i*sen t
Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote:
Carlos,
Se sen(x) 0, então 2 sen^2(x) + 3 sen(x) - 2 = 0
D = 3^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25
sen(x) = (-3 +- 5)/4 == sen(x) = -2 ou sen(x) = 1/2
Como sen(x) 0, então sen(x) = 1/2.
Logo, x = Pi/6 + 2*k*Pi ou x = 5Pi/6 + 2*k*Pi,
sendo k inteiro.
Se sen(x) 0, então: - 2 sen^2 + 3 sen(x) - 2 = 0
D = 3^2 - 4*(-2)*(-2) = 9 - 16 = -7
Por D 0, sabemos que as raízes dessa equação são valores para os quais
sen(x) é complexo não-real. Veja:
sen(x) = [-3 +- sqrt(7)*i] / (-4) ==
== sen(x) = [3 + sqrt(7)*i]/4 ou sen(x) = [3 - sqrt(7)*i]/4
Encontrar os valores de x que satisfazem a essas equações imagino que não
seja fácil, mas o exercício pede que você resolva em R. Assim, o conjunto
solução é aquele mesmo que você mencionou.
Abraços,
Rafael
---! -- Original Message -
From: Carlos Alberto
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, April 16, 2004 9:28 AM
Subject: [obm-l] Equação Trigonométrica!
Resolva em R, a seguinte equação.
2 . senx . |senx| + 3 . senx = 2
Desculpa a pertinência em enviar questão que foge do escopo da lista.
Mas não tenho muitos locais para recorrer.
Segue abaixo minha resolução que eu não considerei tanto correta.
Resolução.
|senx| 0 ou
|senx| 0
logo, para
|senx| 0
-2 sen^2 x + 3 sen x - 2 = 0
Considerando sen x = t ( * )
-2 t^2 + 3t - 2 = 0
9 - 16 = - 7 --- Não possui raízes reais, logo não convém.
|senx| 0
2 sen^2 x + 3 sen x - 2 = 0
Considerando sen x = t
2 t^2 + 3 t - 2 = 0
t' = - 2 (**)
t = 1/2 (***)
Substituindo (*) em (**) e (***) temos,
senx = 1/2
senx = sen pi/6
x = pi/6 + 2kpi ou
x = 5pi/6 + 2kpi
Bom... a! té aqui tudo bem!!!
A Solução do livro é:
V = { x pert R | x = pi/6 + 2kpi ou x = 5 pi/6 + 2kpi}
O que ocorre com o sen x = -2??
Reparei no livro que nºs 1 e nºs 1 são aparentemente desconsiderados.
O pq disso? Eu imaginei sendo que a imagem de sen x = [-1, 1].
Mas não sei é realmente isso que ocorre.
Pois por outro lado eu enxergaria
sen x = -2 como,
sen x = -2 . sen pi/2
Alguém poderia esclarecer minha dúvida, e conferir se eu fiz algo errado na
resolução.
Desde já agradeço a atenção!!!
[ ], s Carlos
=
Instruções para entrar na lista,
[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica!
Sim, você tem razão. As contas é que são um pouquinho feias, mas... Sabemos que sen(x) = (e^(ix) - e(-ix)) / (2i). Seja y = e^(ix), para sen(x) = (3 + sqrt(7)*i)/4, temos: y - 1/y = (-sqrt(7) + 3i)/2 == 2y^2 + (sqrt(7) - 3i)y - 2 = 0 D = (sqrt(7) - 3i)^2 - 4*2*(-2) = 14 - 6i*sqrt(7) y = (-sqrt(7) + 3i +- (14 - 6i*sqrt(7))^(1/2)) / 4 Como (14 - 6i*sqrt(7))^(1/2) = sqrt(4sqrt(7) + 7) - i*sqrt(4sqrt(7) - 7), x = -i*ln((sqrt(4sqrt(7) + 7) - sqrt(7) + (3 - sqrt(4sqrt(7) - 7))*i) / 4) = = 0,621 + 0,743*i (aprox.) ou x = -i*ln((-sqrt(4sqrt(7) + 7) - sqrt(7) + (3 + sqrt(4sqrt(7) - 7)*i) / 4) = = 2,521 - 0,743*i (aprox.) Analogamente, encontrar-se-iam os valores de x para sen(x) = (3-sqrt(7)*i)/4, ressaltando, ainda, que não estamos resolvendo aquela equação em C, mas encontrando os valores de x para os quais sen(x) é complexo não-real. Abraços, Rafael - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 16, 2004 1:36 PM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica! Se voce definir seno em complexos fica facil.Acho que e^it=cos t+ i*sen t = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica!
Olá Carlos,
Conforme o Rafael atentou numa mensagem privada, eu cometi um erro
primário.
Na realidade, a solução:
S = {x pertencente a R | x = +-pi/6 + 2k.pi, com k inteiro}
NÃO é equivalente ao conjunto solução dado pelo seu livro:
V = {x pertencente a R | x = pi/6+2kpi ou x = 5pi/6+2kpi, com k inteiro}
Pois -pi/6 é congruente ao arco 2pi - pi/6 = 7pi/6 e não 5pi/6 = pi - pi/6.
Eu realmente imaginei a equação como cos(x) = 1/2 ao invés de sen(x) = 1/2,
como o Rafael comentou.
Substitua:
x = +-pi/6 + 2k.pi, com k inteiro
por:
x = pi/6+2kpi ou x = 5pi/6+2kpi, com k inteiro
na minha solução.
Rafael, muito obrigado,
Rogério Moraes de Carvalho
[EMAIL PROTECTED]
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Rogério Moraes de Carvalho
Sent: sábado, 17 de abril de 2004 04:50
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica!
Carlos,
A seguir, eu apresento a minha resolução para o problema.
Analisando-a você poderá encontrar alguns pequenos problemas na sua
resolução. Observe que as duas resoluções são bem similares.
Questão:
Resolva em R, a seguinte equação.
2.sen(x).|sen(x)| + 3.sen(x) = 2
**
Resolução:
**
Considerando y = sen(x), teremos:
2.y.|y| + 3.y = 2 = 2.y.|y| + 3.y - 2 = 0
Pela definição de módulo de um número real, podemos dizer que:
|y| = y, se y = 0
|y| = -y, se y 0
Para y = 0:
2.y^2 + 3.y - 2 = 0
discriminante = 9 + 16 = 25
y = (-3 - 5) / 4 = y = -2 (não satisfaz a condição y = 0)
ou
y = (-3 + 5) / 4 = y = 1/2 (satisfaz a condição y = 0)
Para y 0:
---
-2.y^2 - 3.y - 2 = 0 = 2.y^2 + 3.y + 2 = 0
discriminante = 9 - 16 = -7 (a equação não tem raízes reais)
Portanto, concluímos que um único valor de y satisfaz a equação 2.y.|y| +
3.y = 2: y = 1/2
Como y = sen(x), teremos:
sen(x) = 1/2 = x = +-pi/6 + 2k.pi, com k inteiro.
Resposta: S = {x pertencente a R | x = +-pi/6 + 2k.pi, com k inteiro}
Observações:
O conjunto solução:
S = {x pertencente a R | x = +-pi/6 + 2k.pi, com k inteiro}
é equivalente ao conjunto solução dado pelo seu livro:
V = {x pertencente a R | x = pi/6+2kpi ou x = 5pi/6+2kpi, com k inteiro}
Na realidade, a solução y = -2 não pode ser levada em consideração porque
não satisfaz a condição colocada inicialmente, ou seja, y = 0.
Mesmo que y = -2 fosse uma solução satisfatória, nós teríamos que:
sen(x) = -2, o que é impossível no campo dos reais.
Seja a função f: R - R, tal que f(x) = sen(x), nós teremos que o conjunto
imagem é dado por: Im(f) = [-1, 1], como você havia citado. Ou seja,
qualquer que seja o x real, sempre teremos -1 = sen(x) = 1. Portanto,
todas as soluções que estão fora deste intervalo devem ser desconsideradas,
como você observou no livro.
A sua conclusão colocada abaixo é correta.
sen(x) = -2 como,
sen(x) = -2.sen(pi/2)
Porém, esta outra forma de escrever não muda em nada a questão da
impossibilidade de se encontrar um x real tal que sen(x)=-2.sen(pi/2)=-2.
Apenas por curiosidade, a equação sen(x) = -2 tem solução no campo dos
números complexos (C). Porém, a resolução em C seria diferente desta
apresentada, uma vez que no conjunto dos números complexos não há relação de
ordem. Portanto, não teria sentido considerar y = 0 ou y 0 com y
complexo.
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Sent: sexta-feira, 16 de abril de 2004 13:36
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica!
Se voce definir seno em complexos fica facil.Acho que e^it=cos t+ i*sen t
Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote:
Carlos,
Se sen(x) 0, então 2 sen^2(x) + 3 sen(x) - 2 = 0
D = 3^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25
sen(x) = (-3 +- 5)/4 == sen(x) = -2 ou sen(x) = 1/2
Como sen(x) 0, então sen(x) = 1/2.
Logo, x = Pi/6 + 2*k*Pi ou x = 5Pi/6 + 2*k*Pi,
sendo k inteiro.
Se sen(x) 0, então: - 2 sen^2 + 3 sen(x) - 2 = 0
D = 3^2 - 4*(-2)*(-2) = 9 - 16 = -7
Por D 0, sabemos que as raízes dessa equação são valores para os quais
sen(x) é complexo não-real. Veja:
sen(x) = [-3 +- sqrt(7)*i] / (-4) ==
== sen(x) = [3 + sqrt(7)*i]/4 ou sen(x) = [3 - sqrt(7)*i]/4
Encontrar os valores de x que satisfazem a essas equações imagino que não
seja fácil, mas o exercício pede que você resolva em R. Assim, o conjunto
solução é aquele mesmo que você mencionou.
Abraços,
Rafael
---! -- Original Message -
From: Carlos Alberto
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, April 16, 2004 9:28 AM
Subject: [obm-l] Equação Trigonométrica!
Resolva em R, a seguinte equação.
2 . senx . |senx| + 3 . senx = 2
Desculpa a pertinência em enviar questão que foge do escopo da lista.
Mas não tenho muitos locais para recorrer.
Segue abaixo minha resolução que eu não considerei tanto correta.
Resolução.
|senx| 0 ou
|senx| 0
logo, para
|senx| 0
-2 sen^2 x + 3 sen x - 2 = 0
Considerando sen x = t ( * )
-2 t^2
