Ola Ghaeser e demais colegas desta lista, Gostei da frase que voce destaca : "mathematicus nascitur, non fit". Por esta razao voce ajudar voce a compreender os fenomenos que esta percebendo.
O somatorio de i^k, i variando de 1 ate N e K natural, e um polinomio de grau K+1. E verdade. De fato. Isto e uma conjuncao de dois teoremas, geralmente enunciados assim ( ou equivalente ): TEOREMA 1 : Se (A1,A2,...,An) e uma Progressao Aritmetica entao (A1^k, A2^k, ..., An^k) e uma Progressao Aritmetica de ordem K. TEOREMA 2 : Se (A1,A2,...,An) e uma Progressao Aritmetica de ordem K entao sua soma e um polinomio de grau K+1. O que talvez nao esteja claro e que o que chamamos comumente de Progressao Aritmetica e, em verdade, uma Progressao Aritmetica de ordem 1 ( uma sucessao constante, tipo 1,1,1,1, e de ordem zero ). Isto permite voce tratar com serenidade de Progressoes de ordens mais avancadas, por exemplo. Seja (A1,A2,...,An) uma progressao de ordem K, entao : B1=A1 Bn=A1+...+An E de ordem K+1. Isto permite voce alcancar todas as progressoes de todas as ordens K, K natural e maior que zero. Agora voce pode provar um resultado muito mais interessante : TEOREMA: Se (A1,A2,...,An) e uma progressao de ordem K e (C1, C2, ..., Cn) e de ordem L entao (A1*C1, A2*C2, ..., An*Cn) e de ordem K+L COROLARIO : ( Nome bonito, nao ? O meu proximo cachorro vou batizar de Corolario )Se (A1,A2,...,An) e uma PA-L ( Progressao Aritmetica de ordem K ) entao (A1^k, A2^k, ..., An^k) e uma PA-L*K, ISTO E, e uma progressao aritmetica de ordem L*K. Agora voce comeca a entender as coisas ? Ainda nao ? Bom, vejamos. Como diria o Prof Ralph, o truque e o seguinte : As progressoes aritmeticas de ordem inteira e positiva podem ser expressam como soma de produtos de numeros binomiais ... Assim. PA-1 Sn =Bi(N,1)*A1 + Bi(N,2)*(A2 -A1) PA-2 Sn=Bi(N,1)*A1 + Bi(N,2)*(A2-A1) + Bi(N,3)*(A3-2*A2+A1) PA-3 Sn=Bi(N,1)*A1 + Bi(N,2)*(A2-A1) + Bi(N,3)*(A3-2*A2+A1) + Bi(N,4)*(A4-3*A3+3*A2-A1) e assim sucessivamente. E facil provar estas coisas ( Bom exercicio pra voce ). Quando voce iguala a zero e reduz o termos semelhantes vao surgir os fatos que voce vem percebendo. NOTA: Bi(N,P)=numero binomial de numerador N e denominador P. Se P > N entao faca Bi(N,P)=0. Ajudou ? Corolario ! Corolario ! Ih, maluco. Deixa eu ir ficando por aqui porque o corolario fugiu pra rua fantasiado de axioma. Um abraco Paulo Santa Rita 6,1304,080202 >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Soma de Potências (de novo) >Date: Fri, 8 Feb 2002 12:11:23 -0200 > >Olá pessoal, > >Sabemos que a fórmula para sum(i^k,i=1 até n) é um polinômio de grau k+1. >Verifiquei que quando k é par -1, -1/2 e 0 são raizes !! >quando k é ímpar e diferente de um, -1 e 0 são raizes duplas. > >Verifiquei isso até k=~200. > >tentei descobrir isso por 2 métodos diferentes mas não consegui entender >porque! > >a demonstração da fórmula para os 2 métodos e o algorítmo em Mathematica >4.0 estão em http://www.gabas.cjb.net > >1) método: sum(i^k,i=1,n)=sum((i+1)^k,i=1,n)-(n+1)^k+1 ... >2) método: encontrar P(i) tq P(i)-P(i-1)=i^k e somar para i=1 ate n > >"Mathematicus nascitur, non fit" >Matemáticos não são feitos, eles nascem > > >------------------------------------------ >Use o melhor sistema de busca da Internet >Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= _________________________________________________________________ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar e imprimir as suas fotos: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================