Olá pessoal,
Estou tendo algumas duvidas com essa materia, se alguem poder corrigir oq eu tentei fazer e me ensinar como faz os que eu nao consegui terminar, agradeceria. Valeu
O exercicio pede para que eu verifique quais dos conjuntos abaixo sao sub espacos vetoriais do R3:
1) W = {(x,y,z) E R3 / x=4y e z = 0}
Verificando..
i) Para todo u, v E W; u+v E W
sejam u = (x1, y1, z1) E W
v = (x2, y2, z2) E W
u+v = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) E W ?
x1+x2 = 4y1 + 4y2 = 4.(y1+y2)
z1+z2 = 0+0=0
ii) Para todo a(alfa) E R, a.u E W
a.y = a(x,y,z) = (ax, ay, az)
[a(4y), ay, a.0)] = [ 4(ay), ay, 0 ]
Isto prova que W é sub espaco do R3? Tem algo errado nisso?
Sim, prova. As propriedades de associatividade, comutatividade e distributividade são herdadas de R3, assim como a multiplicação por 1. O fechamento em relação ao produto por escalar garante que 0 esta em W e, para todo v em W, -v está em W. O fechamento em relação à soma também está provado, de modo que todas as propriedades estão satisfeitas. Resumindo, a fim de provar que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial, basta mostrar que é fechado em relação à soma e ao produto por escalar.
e como eu procederia para a verificacao do sub espaco abaixo?
W = {(x,y,z) E R3 / y = x² }
apos efetuar a soma de u+ v = ( x1 + x2, y1+ y2, z1+ z2)
faço y = x²
entao y1+ y2 = (x1 + x2).(x1 + x2)
Sabemos que y1 = x1^2 e y2 = x2^2 -> y1 + y2 = x1^2 + x2^2 que nem sempre é igual a (x1 + x2)^2 Logo W não é um subespaco.
e como ficaria na outra propriedade?
a * (x,y,z) = (a*x,a*y,a*z) = (a*x,a*x^2,a*z) = (x1,y1,z1) a fim de que W seja subespaco, teriamos que y1 = x1^2 como a*x^2 nem sempre é igual a (a*x)^2, W não é subespaço.
obrigado.
[]s Felipe Pina
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
