[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria de Anéis - Homomorfismo
Eu discordo desta abordagem, porque em nenhum momento foi dito que f preserva a ordem (globalmente), ou que f é contínua. Num anel, sem dizer mais nada, a priori, não existe o conceito de ordem, ou de continuidade! Nada impede um homomorfismo de R-R enviar pi - 2pi (e portanto Q*pi - Q*pi) e ser a identidade no resto. Eu diria que o problema está incompleto... Pense no caso mais feijão com arroz de Q + Q(t) onde t é transcendente, você pode fazer barbaridades na segunda coordenada, definindo a imagem de t como qualquer elemento... mesmo 1. 2009/9/16 Nivan Roberto Ferreira Junior n...@cin.ufpe.br: Com isso é a identidade sobre Z. Você prova a mesma coisa para os racionais, como foi dito. e usa que nos racionais f preserva a ordem. Aí usa as propriedades de supremo para mostrar o resto. 2009/9/15 Nivan Roberto Ferreira Junior n...@cin.ufpe.br f(1)=f(1.1)=f(1).f(1) = f(1).(f(1)-1) = 0 Como f não é nulo, f(1) é diferente de zero. Logo, f(1)-1=0! 2009/9/15 Vinicius Martins martins.vinic...@gmail.com Você pode usar o seguinte, se f é um homomorfismo de anéis em R, então f restrito a qualquer subanel de R também é um homomorfismo. Agora considere Z (inteiros) como um subanel de R e prove que f restrita a Z tem que ser a identidade, da mesma forma para Q (racionais). Agora você tem que se f é um homo. de anéis de R em R, então f restrito a Q é a identidade, pra subir pra R falta provar que nos irracionais a função f também é a identidade, vou deixar pra você pensar um pouco, creio que existam várias formas de se fazer. o/ 2009/9/15 Bruno Collares collares.br...@hotmail.com Caros, esta questão travei legal. Mostre que o único homorfismo não nulo dos R (Reais) nos R (Reais) é a identidade. Grato BRUNO -- Vinicius Martins -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Teoria de Anéis - Homomorfismo
Se f eh um homorfismo de anel, entao, para todos reais x1 e x2, temos que f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) f(x1 x2) = f(x1) f(x2) f(0) = 0 Temos que f(1) = f(1 . 1)= f(1) f(1)= f(1)^2, do que deduzimos que f(1) = 1 ou f(1) = 0. Se f(1) = 0, entao, para todo real x, f(x) = f(x . 1) = f(x) f(1) = 0, contrariamente aa hipotese de que f nao eh nulo. Logo, f(1) = 1. Alem disto, para todo real x, f(0) = f(x + (-x)) = f(x) + f(-x) = 0 = f(-x) = -f(x) Sabemos que a restricao de f a qualque sub-anel de R eh, tambem, um homomorfismo de anel. Consisderemos, inicialmente, o anel dos inteiros Z. Em Z, consideremos os inteiros nao negativos. Vamimos que, nete caso, f(n) = n. Ja vimos que f(0) = 0. Se, para algum inteiro n =0, f(n) = n, entao f(n + 1) = f(n) + 1= n + 1, completando a inducao para os inteiros nao negativos. Se n 0 eh inteiro, entao f(n) = f(-1 . |n|) e, como |n| 0, f(n) = f(-1) f(|n|) = -1 . |n| = -n, do que deduzimos que f(n) = n para todo n de Z. Consideremos, agora, o sub-anel Q dos racionais. Inicialmente, consideremos os racionais da forma 1/n, onde n 0 esta em Z. Entao f(n . 1/n) = f(n) f(1/n) = n f(1/n) = 1 = f(1/n) = 1/n. Assim, para tais elementos f eh a identidade. Se r = m/n, m e n inteiros, entao, em virtude do que jah deduzimos, f(r) = f(m . 1/n) = f(m) f(1/n) = m . 1/n = m/n = r, de modo que, em Q, f tem que ser a funcao identidadade. Veja que, ate agora, nada falamos sobre continuidade. Nem sequer consideramos qualquer conceito topologico, mas apenas as definicoes da adicao e multiplicacao em R e a definicao de homorfismo de grupo. Esta ultima definicao, de modo geral, nao entre no merito da continuidade, mas apenas nas operacoes de adicao e multiplicacao em dois aneis A1 e A2. Nao eh sequer suposto que A1 e A2 sejam espacos topologicos, de modo que conceitos de conjuntos abertos e fechados e de continuidade, que basiaa-se nos mesmos, simplesmente nao sao considerados. Sem considerar estes aspectos topologicos, eu nao estou vendo como estender a conclusao para todo o R. Pode ser que haja, eu eh que nao estou vendo. Talvez por um processo semelhante ao que permite construir funcao linear descontinua, que usa base de Halmos eo Axioma da Escolha. Mas se supusermos que f é continua, com a topologia usual de R, ditada pela metrica Euclidiana, ou mesmo com qualquer outra topologia de Hausdorff, nao necessariamente metrica, mas que satisfaca ao segundo axioma da enumerabilidade, entao f tem realmente que ser a funcao identidade. Neste caso, dado um real x, seja x_n uma sequencia qualquer de racionais que convirja para x. Entao, pela continuidade de f, f(x_n) -- f(x). Mas, para todo n, temos, em virtude do que jah vimos, para todo n f(x_n) = x_n, o que implica que f(x_n) -- x. pela unicidae do limite (dai, a necessidade de ser um espaco de Hausdorff), temos que f(x) = x, mostrando que f eh a identidade. Esta eh minha contribuicao, meus 2 tostoes. Artur From: martins.vinic...@gmail.com Date: Tue, 15 Sep 2009 20:43:42 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria de Anéis - Homomorfismo To: obm-l@mat.puc-rio.br Você pode usar o seguinte, se f é um homomorfismo de anéis em R, então f restrito a qualquer subanel de R também é um homomorfismo. Agora considere Z (inteiros) como um subanel de R e prove que f restrita a Z tem que ser a identidade, da mesma forma para Q (racionais). Agora você tem que se f é um homo. de anéis de R em R, então f restrito a Q é a identidade, pra subir pra R falta provar que nos irracionais a função f também é a identidade, vou deixar pra você pensar um pouco, creio que existam várias formas de se fazer. o/ 2009/9/15 Bruno Collares collares.br...@hotmail.com Caros, esta questão travei legal. Mostre que o único homorfismo não nulo dos R (Reais) nos R (Reais) é a identidade. Grato BRUNO Novo Internet Explorer 8: faça tudo com menos cliques. Baixe agora, é gratis! -- Vinicius Martins _ Você sabia que pode acessar o Messenger direto do seu Hotmail? Descubra como! http://www.microsoft.com/brasil/windows/windowslive/products/tutoriais.aspx
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria de Anéis - Homomorfismo
Oi Artur, eu acho que é base de Hamel o nome da dita-cuja : um conjunto independente tal que todo elemento do espaço vetorial seja escrito como combinação linear finita de elementos do conjunto. Só para completar, a outra base para espaços infinitos com a qual a gente está acostumado é a de Hilbert, em que usamos convergência e permite-se portanto combinações lineares infinitas. E aqui acontece exatamente o mesmo fenômeno que deu essa discussão, quer dizer, é uma noção mais restrita, porque bases de Hamel existem independente da topologia, enquanto bases de Hilbert precisa-se de um bom conceito de convergência, que é encontrado, principalmente, nos espaços com produto interno (chamados de espaços de Hilbert quando são completos, o que também é importante quando se fala de convergência de somas infinitas!!) 2009/9/16 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com: Sem considerar estes aspectos topologicos, eu nao estou vendo como estender a conclusao para todo o R. Pode ser que haja, eu eh que nao estou vendo. Talvez por um processo semelhante ao que permite construir funcao linear descontinua, que usa base de Halmos eo Axioma da Escolha. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria de Anéis - Homomorfismo
Você pode usar o seguinte, se f é um homomorfismo de anéis em R, então f restrito a qualquer subanel de R também é um homomorfismo. Agora considere Z (inteiros) como um subanel de R e prove que f restrita a Z tem que ser a identidade, da mesma forma para Q (racionais). Agora você tem que se f é um homo. de anéis de R em R, então f restrito a Q é a identidade, pra subir pra R falta provar que nos irracionais a função f também é a identidade, vou deixar pra você pensar um pouco, creio que existam várias formas de se fazer. o/ 2009/9/15 Bruno Collares collares.br...@hotmail.com Caros, esta questão travei legal. Mostre que o único homorfismo não nulo dos R (Reais) nos R (Reais) é a identidade. Grato BRUNO -- Novo Internet Explorer 8: faça tudo com menos cliques. Baixe agora, é gratis!http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8 -- Vinicius Martins
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria de Anéis - Homomorfismo
Definição: Seja A um anel, Uma aplicação de f: A em A é um homorfismo de anéis se: (i) f(x+y)=f(x)+f(y) para quaisquer x,y em A (ii) f(xy)=f(x)f(y) para quaisquer x,y em A. observe que se f:R em R é um homomorfismo, então f(0)=0 e f(1)=1 pois f(1)=f(1.1)=f(1)f(1), logo f(1)=1 daí que f(n)=n para qualquer inteiro, e daí f(m/n)=m/n para quaisquer m, n inteiros e n diferente de zero. para conseguirmos provar para qualquer r Real f(r)=r precisamos usar as noçoes de convergência da reta, o que não é nada agradável, apesar disto a noção de convergência faz parte das estrutura dos reais. dado qualquer número real r em R existe uma sequência de racionais a_n tendo a r. como f(a_n) =a_n logo no limite f(r)=r. 2009/9/15 Bruno Collares collares.br...@hotmail.com Caros, esta questão travei legal. Mostre que o único homorfismo não nulo dos R (Reais) nos R (Reais) é a identidade. Grato BRUNO -- Novo Internet Explorer 8: faça tudo com menos cliques. Baixe agora, é gratis!http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8 -- Jones Colombo Coordenador de Iniciação Científica da OBMEP - Região RJ02 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática Departamento de Análise Rua Mario Santos Braga, s/n, 4º andar - Campus do Valonguinho Centro - Niterói - RJ - CEP 24020-140 Tel: 21 2629 2058 (secretaria departamental) ramal 7016 Apoio Secretarial - Adriele N. Roberto 65 9925 6198 email: adryelle.ne...@hotmail.com
