Alguns comentários relevantes e interessantes:
Escreva f(z) = F(0) + F(1) z + F(2) z^2 + ... + F(k) z^k + ...
Hmmm. Isso parece ter um análogo com métodos para resolver equações
diferenciais
utilizando séries de potências...
Escreva agora
(z + z^2) f(z) =
F(0) z + F(1) z^2 + F(2) z^3 + ... + F(k-1) z^k + ...
F(0) z^2 + F(1) z^3 + ... + F(k-2) z^k + ...
(usando que F(k-1) + F(k-2) = F(k) e que F(0) = 0)
= F(2) z^2 + F(3) z^3 + ... + F(k) z^k + ...
(usando que F(0) = 0, F(1) = 1)
= f(z) - z
Esse é um truque bastante interessante. Se multiplicarmos por z +z^2,
fazemos
um "shift" na sequência, o que nos permite usar a fórmula de Fibonacci.
Assim f(z) = z/(1-z-z^2) = -z/((z+a)(z+b))
onde, como antes, a = (1+sqrt(5))/2, b = (1-sqrt(5))/2.
Queremos agora escrever f(z) = C/(z+a) + D/(z+b).
Expandindo temos
f(z) = (Cz+Cb+Dz+Da)/((z+a)(z+b)) = ((C+D)z + (Cb+Da))/((z+a)(z+b))
donde C+D = -1, bC+aD = 0 donde C = -a/sqrt(5), D = b/sqrt(5).
A decomposição em frações parciais feita pelo professor, é apenas um
outro método de escrever a série de potências.
A vantagem de escrever a série como ela é mostrada abaixo:
f(z) = 1/sqrt(5) ( - a/(a+z) + b/(b+z) )
(como 1/a = -b, 1/b = -a)
= 1/sqrt(5) ( 1/(1-az) - 1/(1-bz) )
É que 1/(1-az), por exemplo, pode ser enxergada como a soma de uma série
geométrica infinita
1/(1-az) = sum (0,oo) (az)^n de razão az. Isso pode ser feito porque |az|
< 1 ,certo?
Por outro lado, sabemos (pg infinita) que
1/(1-az) = 1 + a z + a^2 z^2 + ... + a^k z^k + ...
1/(1-bz) = 1 + b z + b^2 z^2 + ... + b^k z^k + ...
Alguém que fez ou faz a matéria controle e servomecanismos, identificará
que esta passagem
está de certo modo relacionada com o uso de transformadas z.
Explicando melhor: O leitor se lembra que existe uma analogia entre
equações de diferença e
equações diferenciais.
Pois bem.
Podemos resolver uma equação diferencial usando a transformada de
Laplace nas funções de
variável t.
Ao fazermos isso, transformamos uma EQ. DIFERENCIAL em uma EQ.
ALGÉBRICA na
variável complexa s e depois aplicando a transformada inversa obtemos a
solução da equação na variável t.
Para equações de diferença dá para fazer a mesma coisa, só que
aplicando a "transformada z" ao invés
da transformada de Laplace (desde que o disco de convergência da série seja
< 1).
O professor Nicolau, nesta mensagem parece estar provocando a
imaginação de mentes analíticas ... haha.
[]s
Ronaldo L. Alonso
Assim
f(z) = 1/sqrt(5) ( (a-b) z + (a^2-b^2) z^2 + ... + (a^k-b^k) z^k + ... )
que dá a fórmula desejada para F(k).
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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