[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio redutível ?
ok On Sun, Nov 10, 2019 at 1:26 PM Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> wrote: > Aproveito para repassar o email do Luís, com as correções que ele > efetuou sobre meu rascunho e, mais importante, a motivação do > problema. > > On Wed, Nov 6, 2019 at 8:42 PM Luís Lopes wrote: > > > > Sauda,c~oes, oi Bernardo, > > > > Alguns comentários preliminares: > > > > 1) obrigado ao Bernardo pelo tempo e paciência. Não é a primeira vez. > > > > 2) x em p(x) representa o comprimento do lado na resolução algébrica > do > > problema "construir ΔABC dados ou ". > > > > A construção geométrica é interessante e admite duas soluções > (triângulos). > > Mas apareceram dois outros triângulos estranhos (o lado é negativo) e > > então algebricamente um polinômio de grau 4 vai aparecer. Daí o > surgimento > > e interesse em p(x). > > Uma pergunta: se existe uma construção geométrica para duas raízes > (pelo menos no caso em que há solução), isso não implica que deve > haver uma fatoração construtível deste polinômio? Não sou > especialmente versado em construtibilidade, mas como já haverá um > fator q(x) construtível de grau 2, a divisão p(x)/q(x) também será, e > o quociente tendo grau 2 também implica que as raízes são > construtíveis. Claro que pode ser mais interessante fatorar antes de > construir as raízes, mas se for o único caminho para obter as 2 > outras... > > > 3) análise de p(x) mostra que não adianta procurar por mais de duas > soluções, > > ou seja, o problema admite 0, 1 ou 2 soluções. > > > > 4) com dados construtíveis, as raízes de p(x) são construtíveis também, > ou seja, > > p(x) admite soluções com \sqrt{} somente. > > > > 5) p(x) é fatorável como produto de dois polinômios quadráticos. > > > > 6) a cúbica resolvente de p(x) possui sempre uma raiz racional. > > > > Fim dos comentários. > > > > No teste > > > > 3) h=4sqrt(3); m=(3/2)sqrt(3); s=13 > > já sabemos que as raízes serão complexas pois h>2m. A fatoração > anuncia-se > > complicada. > > > > p(x) = 9x^4 + 156x^3 + 160x^2 - 7384x + 20164 = (Ax^2 + Bx + C)(Dx^2 + > Ex + F) > > > > só consegui fazendo A=3 e em seguida resolvendo o sistema que surge > igualando > > os outros coeficientes. B,D=3,E são camaradas. C,F assustadores: > > > > B = 26 - sqrt(2 (511 + sqrt(317905))) > > C = 1/78 (6578 + 26 sqrt(317905) - sqrt(2) (511 + sqrt(317905))^(3/2) + > 684 sqrt(2 (511 + sqrt(317905 > > E = 26 + sqrt(2 (511 + sqrt(317905))) > > F = 1/78 (6578 + 26 sqrt(317905) + sqrt(2) (511 + sqrt(317905))^(3/2) - > 684 sqrt(2 (511 + sqrt(317905 > > > > E estes valores não são únicos. Se numericamente foi trabalhoso > simbolicamente seria > > ainda mais. > > De fato! Volto aqui a fazer propaganda do python: a biblioteca sympy > tem uma boa coleção de algoritmos para manipulações simbólicas (sendo > útil inclusive para gabaritar provas de Cálculo I ;-)), com código > aberto, e várias pérolas da matemática até "contemporânea", como um > algoritmo de cálculo de limites com garantia de terminação finita para > uma classe relativamente grandes de expressões. > > > >Juntando tudo, temos (3x^2 + uE + uY)(3x^2 + E + Y/u) = seu polinômio, > e temos ("de fato") > > >apenas uma incógnita. > > Aqui teve um typo: (3x^2 + uEx + uY)(3x^2 + Ex + Y/u) > > Isso, obrigado! > > > Daqui pra baixo me perdi. > > Mas adivinhou o caminho ;-) > > > >Aí eu pedi para o computador calcular as raízes E do polinômio (de > > >quarto grau) que fica determinado pela equação do termo x^2. > > Que polinômio é esse ? > > 3Y/u + uE^2 + 3uY com (u + 1)E = 4s e aparece um E^4. É isso ? > > Isso, porque u = 4s/E - 1, e 1/u vai dar um termo com (4s - E) no > denominador, daí ao eliminar ambos o E^2 vai ter dois fatores com E a > mais. > > > >Deu o seguinte: > > > > 2*s +/- 2*sqrt(2)*sqrt(-h**2 + m**2 + s**2 +/- sqrt(h**4 - 2*h**2*m**2 > > - h**2*s**2 + m**4 - 2*m**2*s**2 + s**4)) > > > > Se você chamar T = m^2 + s^2 - h^2, dá para ficar mais bonitinho: > > > > 2s +/- 2sqrt(2)*sqrt(T +/- sqrt(T^2 - 4 m^2 s^2)) > > > > > São quatro valores. Posso pegar qq um ? Digamos > > E_1 = 2s + 2sqrt(2)*sqrt(T + sqrt(T^2 - 4 m^2 s^2)). Aí acho u_1 = > 4s/E_1 - 1. > > > > E encontro p(x) = (3x^2 + u_1E_1x + u_1Y)(3x^2 + E_1x + Y/u_1). > > Seria isso ? > > Acho que pode pegar o que você quiser sim, a fatoração deveria ser "a > mesma" (as raízes conjugadas vêm juntas, então ao conjugar o E_1 em > E_j deveria aparecer a raiz conjugada junto e, a menos de permutação, > seria igual). Talvez precise de um pouco mais de formalização neste > argumento (quando justamente as raízes não forem conjugadas complexas) > mas acho que dá certo. > > > Abraços, > > Luís > > Grande abraço, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio redutível ?
Aproveito para repassar o email do Luís, com as correções que ele efetuou sobre meu rascunho e, mais importante, a motivação do problema. On Wed, Nov 6, 2019 at 8:42 PM Luís Lopes wrote: > > Sauda,c~oes, oi Bernardo, > > Alguns comentários preliminares: > > 1) obrigado ao Bernardo pelo tempo e paciência. Não é a primeira vez. > > 2) x em p(x) representa o comprimento do lado na resolução algébrica do > problema "construir ΔABC dados ou ". > > A construção geométrica é interessante e admite duas soluções (triângulos). > Mas apareceram dois outros triângulos estranhos (o lado é negativo) e > então algebricamente um polinômio de grau 4 vai aparecer. Daí o surgimento > e interesse em p(x). Uma pergunta: se existe uma construção geométrica para duas raízes (pelo menos no caso em que há solução), isso não implica que deve haver uma fatoração construtível deste polinômio? Não sou especialmente versado em construtibilidade, mas como já haverá um fator q(x) construtível de grau 2, a divisão p(x)/q(x) também será, e o quociente tendo grau 2 também implica que as raízes são construtíveis. Claro que pode ser mais interessante fatorar antes de construir as raízes, mas se for o único caminho para obter as 2 outras... > 3) análise de p(x) mostra que não adianta procurar por mais de duas soluções, > ou seja, o problema admite 0, 1 ou 2 soluções. > > 4) com dados construtíveis, as raízes de p(x) são construtíveis também, ou > seja, > p(x) admite soluções com \sqrt{} somente. > > 5) p(x) é fatorável como produto de dois polinômios quadráticos. > > 6) a cúbica resolvente de p(x) possui sempre uma raiz racional. > > Fim dos comentários. > > No teste > > 3) h=4sqrt(3); m=(3/2)sqrt(3); s=13 > já sabemos que as raízes serão complexas pois h>2m. A fatoração anuncia-se > complicada. > > p(x) = 9x^4 + 156x^3 + 160x^2 - 7384x + 20164 = (Ax^2 + Bx + C)(Dx^2 + Ex + F) > > só consegui fazendo A=3 e em seguida resolvendo o sistema que surge igualando > os outros coeficientes. B,D=3,E são camaradas. C,F assustadores: > > B = 26 - sqrt(2 (511 + sqrt(317905))) > C = 1/78 (6578 + 26 sqrt(317905) - sqrt(2) (511 + sqrt(317905))^(3/2) + 684 > sqrt(2 (511 + sqrt(317905 > E = 26 + sqrt(2 (511 + sqrt(317905))) > F = 1/78 (6578 + 26 sqrt(317905) + sqrt(2) (511 + sqrt(317905))^(3/2) - 684 > sqrt(2 (511 + sqrt(317905 > > E estes valores não são únicos. Se numericamente foi trabalhoso > simbolicamente seria > ainda mais. De fato! Volto aqui a fazer propaganda do python: a biblioteca sympy tem uma boa coleção de algoritmos para manipulações simbólicas (sendo útil inclusive para gabaritar provas de Cálculo I ;-)), com código aberto, e várias pérolas da matemática até "contemporânea", como um algoritmo de cálculo de limites com garantia de terminação finita para uma classe relativamente grandes de expressões. > >Juntando tudo, temos (3x^2 + uE + uY)(3x^2 + E + Y/u) = seu polinômio, e > >temos ("de fato") > >apenas uma incógnita. > Aqui teve um typo: (3x^2 + uEx + uY)(3x^2 + Ex + Y/u) Isso, obrigado! > Daqui pra baixo me perdi. Mas adivinhou o caminho ;-) > >Aí eu pedi para o computador calcular as raízes E do polinômio (de > >quarto grau) que fica determinado pela equação do termo x^2. > Que polinômio é esse ? > 3Y/u + uE^2 + 3uY com (u + 1)E = 4s e aparece um E^4. É isso ? Isso, porque u = 4s/E - 1, e 1/u vai dar um termo com (4s - E) no denominador, daí ao eliminar ambos o E^2 vai ter dois fatores com E a mais. > >Deu o seguinte: > > 2*s +/- 2*sqrt(2)*sqrt(-h**2 + m**2 + s**2 +/- sqrt(h**4 - 2*h**2*m**2 > - h**2*s**2 + m**4 - 2*m**2*s**2 + s**4)) > > Se você chamar T = m^2 + s^2 - h^2, dá para ficar mais bonitinho: > > 2s +/- 2sqrt(2)*sqrt(T +/- sqrt(T^2 - 4 m^2 s^2)) > > > São quatro valores. Posso pegar qq um ? Digamos > E_1 = 2s + 2sqrt(2)*sqrt(T + sqrt(T^2 - 4 m^2 s^2)). Aí acho u_1 = 4s/E_1 - 1. > > E encontro p(x) = (3x^2 + u_1E_1x + u_1Y)(3x^2 + E_1x + Y/u_1). > Seria isso ? Acho que pode pegar o que você quiser sim, a fatoração deveria ser "a mesma" (as raízes conjugadas vêm juntas, então ao conjugar o E_1 em E_j deveria aparecer a raiz conjugada junto e, a menos de permutação, seria igual). Talvez precise de um pouco mais de formalização neste argumento (quando justamente as raízes não forem conjugadas complexas) mas acho que dá certo. > Abraços, > Luís Grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] polinômio redutível ?
Oi Luís, e demais colegas da lista. On Tue, Nov 5, 2019 at 4:43 PM Luís Lopes wrote: > Considere o polinômio > > p(x)[h,m,s] = 9x^4 + 12s x^3 + 2(8h^2 - 20m^2 - s^2)x^2 + 4s(4m^2 - s^2)x + > (4m^2 - s^2)^2 . > > Fiz alguns testes para ver se p(x) pode ter suas raízes construtíveis. Esse > polinômio aparece > na construção do triângulo dados . > > [...] > > Só testei para h,m,s > 0 mas se não errei nessas contas parece que podemos > fatorar p(x)[h,m,s] como > > 9x^4 + 12s x^3 + 2(8h^2 - 20m^2 - s^2)x^2 + 4s(4m^2 - s^2)x + (4m^2 - s^2)^2 > = (Ax^2 + Bx + C)(Dx^2 + Ex + F) com os coeficientes A,B,... F construtíveis. > > Daria para calcular os coeficientes dos dois polinômios do segundo grau em > função de h,m,s ? Se não errei contas (e se o meu computador também não errou...), acho que sim. Tome A = D = 3 (para eliminar algumas das variáveis). Depois, observe que o quadrado Y^2 no termo independente poderia ser fatorado como CF = Y^2 = (uY)*(Y/u), introduzindo uma nova variável u e substituindo C e F. (se Y = 0, a equação só tem os termos de grau 2 e maiores, o que também é fatorável, só que de outra forma; com Y != 0, C e F são diferentes de zero, e u está justificada) Além disso, a equação do termo x^3 dá 12s = 3B + 3E, o que permite eliminar B, sobrando apenas E e u. Agora, vem uma última coincidência: o termo Y = (4m^2 - s^2) também aparece no termo de primeiro grau, o que permite fatorar Y na equação entre os termos multiplicando x: 4sY = BF + CE = BY/u + uYE se torna 4s = B/u + uE. Mas então B + E = 4s = B/u + uE <=> B(1 - 1/u) = E(u - 1). Se u = 1, veja mais abaixo, senão isso dá B(u-1)/u = E(u-1) <=> B = uE. Juntando com B + E = 4s de volta, temos (u + 1)E = 4s, o que permite eliminar u. Juntando tudo, temos (3x^2 + uE + uY)(3x^2 + E + Y/u) = seu polinômio, e temos ("de fato") apenas uma incógnita. Aí eu pedi para o computador calcular as raízes E do polinômio (de quarto grau) que fica determinado pela equação do termo x^2. Deu o seguinte: 2*s +/- 2*sqrt(2)*sqrt(-h**2 + m**2 + s**2 +/- sqrt(h**4 - 2*h**2*m**2 - h**2*s**2 + m**4 - 2*m**2*s**2 + s**4)) Se você chamar T = m^2 + s^2 - h^2, dá para ficar mais bonitinho: 2s +/- 2sqrt(2)*sqrt(T +/- sqrt(T^2 - 4 m^2 s^2)) (Curiosamente, o polinômio em E também é irredutível segundo o meu computador, mas ele consegue achar as raízes...) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =