[obm-l] Re: Maio01
Ok, mil desclupas. As palavras e os números se embolaram na minha frente... Agora lendo o enunciado com a devida calma, temos, no sentido anti-horário: AB=45; BP=45; PC=20; CD=20; DM=30; MA=30. Trace PD. Observe que o triângulo PCD é isósceles. Como o angPCD+angABP=180º, temos cos(PCD)=-cos(ABP). Projetando C ortogonalmente em AB, temos um triângulo retângulo do qula tiramos cos(ABP)=5/13, logo, cos(PCD)=-5/13. Aplicando Lei do Cossenos no triângulo PCD, temos PD=120/sqrt(5). Aplicando Lei dos Senos em PCD, temos CP/sen(PDC)=PD/sen(PCD). Daí tiramos que sen(PDC)=sqrt(5)/5. Como angPDC+angPDM=90º, temos cos(ODM)=sen(PDC)=sqrt(5)/5. Aplicando Lei dos Cossenos em PDM, teremos PM=6sqrt(145). Se eu não errei nenhuma conta no caminho, o resultado é esse. Outro opção seria tomaro o triângulo isósceles ABP ao invés do PCD. Depois, em vez de observar PDM, trabalha-se com PAM, mas o raciocínio todo é basicamente o mesmo. []'s Alexandre Tessarollo PS: Obrigado ao Antônio pelo sen(18). Já tinha ouvido o valor várias vezes mas nunca tinha parado p/pensar a respeito nem nunca tinha visto nenhuma demonstração. Valeu mesmo. >Desculpe, mas o problema não fornece figura alguma, eu o passei como me foi >fornecido. A única coisa que se sabe sobre o >ponto P é que ele se localiza em BC, tal que BP meça 45, por conseguinte PC 20. - Original Message - From: "Alexandre Tessarollo" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, May 11, 2002 5:28 AM Subject: [obm-l] Re: Maio01 > > 2-No trapézio ABCD, o lado DA é perpendicular às bases AB e CD. A base AB mede 45, >a base CD mede > > 20 e o lado BC mede 65. Seja P no lado BC tal que BP mede 45 e seja M o ponto >médio de DA. > > > > Calcule a medida do segmento PM. -- ___ Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com http://www.mail.com/?sr=signup = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Re: Maio01
Desculpe, mas o problema não fornece figura alguma, eu o passei como me foi fornecido. A única coisa que se sabe sobre o ponto P é que ele se localiza em BC, tal que BP meça 45, por conseguinte PC 20 - Original Message - From: "Alexandre Tessarollo" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, May 11, 2002 5:28 AM Subject: [obm-l] Re: Maio01 > > 2-No trapézio ABCD, o lado DA é perpendicular às bases AB e CD. A base AB mede 45, a base CD mede > > 20 e o lado BC mede 65. Seja P no lado BC tal que BP mede 45 e seja M o ponto médio de DA. > > > > Calcule a medida do segmento PM. > > > >Tá, DA=65. Mas cadê o ponto P? Meu e-mail atual é meio esquisitão, então nem sei se vc mandou um attach. Dei uma olhada no arquivo da lista e lá não tem anexo nenhum... Será q vc poderia descrever a posição de P? > > Obrigado > ___ > Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com > http://www.mail.com/?sr=signup > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Re: Maio01
> Talvez eu não tenha sido claro o suficiente em alguns pontos pq estou >com sono agora, mas os resultados que eu não msotrei são facilmente >comprováveis - vide a relação eentre o lado do polígono regular e o raio da >circunscrita. O único resultado que eu usei e não sei mostrar é o valor do >sen(18). Esse eu realmente "colei" :))) Alexandre Tessarollo Sem figura eh mais dificil, mas trace um triangulo isosceles de lados 1, 1 e x, e angulos de 36, 72 e 72. tracando a bissetriz de um dos angulos de 72, vc encontra outro triangulo semelhante ao primeiro, e acha x por semelhanca. Dahi, a bissetriz do angulo de 36 intercepta x no ponto medio, e... Abracos, olavo _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: Maio01
> Pessoal vocês poderiam me ajudar nessas duas questões da olimpíada de maio de 2001 ? > 1-Em volta de um círculo situam-se dez moedas de 1 cm de raio . Cada moeda é >tangente ao círculo e > às duas moedas vizinhas. Demonstre que a soma das áreas das dez moedas é o dobro da >área do > círculo. > Junte os centros das moedas e vc terá um decágono regular de lado 2cm (2r para generalizar). Junte os ponto de tangência das moedas com o círculo e vc terá outro decágono regular, de lado L e inscrito numa circunferência de raio R. Observe o trapézio formado pelos centros (O1 e O2) de duas moedas consecutivas e seus respectivos pontos de tangência com o círculo (T1 e T2). Temos o trapézio O1T1T2O2. Sabemos que o ângulo interno de um decágono regular é 144º. (Odeio essa frase, mas) é fácil ver que T1O1 e T2O2 bissectam os ângulos O1 e O2 do decágono maior. Logo, NO TRAPÉZIO, os ângulos O1 e O2 são de 72º. A base maior O1O2 é 2cm (2r). Projetando T1T2 em O1O2 e usando cosseno nos dois triângulos retângulos que "sobram", vemos que T1T2 é igual à 2-2cos(72) [2r-2cos(72), na nossa generalização]. Assim nós temos o valor do lado do decágono menor. Pelas propriedades de polígonos regulares, sabemos que L/2R=sen(180/n), onde R é o raio da circunscrita e n é o número de lados. No decágono menor, L=2-2cos(72) [2r-2cos(72)]. Aplicando essa fórmula e fazendo as contas, temos R=(r-sen(18))/sen(18). Queremos provar que 2*Pi*R^2=10*Pi*r^2. Ou seja, queremos mostrar que R^2=5*r^2. Fazendo as devidas substituições e simplificando, só precisaremos saber o seno de 18º. Só que esse vale (sqrt(5)-1)/4. Simplificando devidamente, veremos que, para r=1, a afirmação é válida, CQD. Talvez eu não tenha sido claro o suficiente em alguns pontos pq estou com sono agora, mas os resultados que eu não msotrei são facilmente comprováveis - vide a relação eentre o lado do polígono regular e o raio da circunscrita. O único resultado que eu usei e não sei mostrar é o valor do sen(18). Esse eu realmente "colei" :))) > 2-No trapézio ABCD, o lado DA é perpendicular às bases AB e CD. A base AB mede 45, a >base CD mede > 20 e o lado BC mede 65. Seja P no lado BC tal que BP mede 45 e seja M o ponto médio >de DA. > > Calcule a medida do segmento PM. > Tá, DA=65. Mas cadê o ponto P? Meu e-mail atual é meio esquisitão, então nem sei se vc mandou um attach. Dei uma olhada no arquivo da lista e lá não tem anexo nenhum... Será q vc poderia descrever a posição de P? > Obrigado > > Marcus Dimitri []'s Alexandre Tessarollo -- ___ Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com http://www.mail.com/?sr=signup = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
