Uma solucao com um pouco menos de contas pode ser obtida se observarmos que 1, 3, 4 e 6 estao dispostos simetricamente em torno de 7/2. Assim, seja b = a - 7/2 ==> a = b + 7/2 ==> a - 1 = b + 5/2 a - 3 = b + 1/2 a - 4 = b - 1/2 a - 6 = b - 5/2 Multiplicando e somando 10, obtemos: f(a) = (b^2 - 25/4)(b^2 - 1/4) + 10 = b^4 - (13/2)b^2 + 185/16 Completando o quadrado: f(a) = b^4 - 2*(13/4)b^2 + 169/16 + 1 = (b^2 - 13/4)^2 + 1 Logo, f(a) >= 1, com igualdade <==> b = +/-raiz(13)/2 <==> a = (7 +/- raiz(13))/2
*** No outro problema: c = -(a+b) ==> c^2 = a^2 + b^2 + 2ab ==> a^2+b^2+c^2 = 2(a^2+b^2+ab) c^3 = -(a^3 + b^3 + 3ab(a+b)) ==> a^3+b^3+c^3 = -3ab(a+b) Logo: (a^2+b^2+c^2)/2 * (a^3+b^3+c^3)/3 = -ab(a+b)(a^2+b^2+ab) (*) === c^5 = -(a^5 + b^5 + 5ab(a^3 + b^3) + 10a^2b^2(a+b)) ==> a^5+b^5+c^5 = -5ab(a^3 + b^3 + 2ab(a+b)) = -5ab((a+b)(a^2-ab+b^2) + 2ab(a+b)) = -5ab(a+b)(a^2+ab+b^2) ==> (a^5+b^5+c^5)/5 = -ab(a+b)(a^2+ab+b^2) (**) Comparando (*) e (**), acabou. []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sat, 21 Oct 2006 01:52:22 -0300 (ART) Assunto: Re: Re: [obm-l] Dúvidas > 1) > > f(a) = ( a - 1 )( a - 3 )( a - 4 )( a - 6 ) + 10 > desenvolvendo; > > ( a - 1 )( a - 6 ) = ( a^2 - 7a + 6 ) > ( a - 3 )( a - 4 ) = (a^2 - 7a + 12) > > f(a) = 10 + ( a^2 - 7a + 6 ) x (a^2 - 7a +12 ) > > desenvolvendo; > > f(a) = 10 + [ ( a^2 - 7a )( a^2 - 7a ) + 18 ( a^2 - 7a ) + 72 ] > > agrupando temos; > f(a) = [ ( a^2 - 7a ) + 9 ]^2 + 1 podemos arrumar mais um pouco, mas já > está provado que para qualquer Va E R f(a)>0 > > arrumando só um pouco; > f(a) = [ ( a - 3 )^2 - a ]^2 + 1 > > 1.1) Uma coisa engraçada... ao resolver eu fui buscar o mínimo da função > encontrando o valor de "a" que torna a função mínima. Fazendo df(a)/da = 0; estudo do sinal da função, descobrir ponto de máximo e de mínimo e por ai vai... > > mas meu anjo da guarda me avisou que f(a) = [ ( a - 3 )^2 - a ]^2 + 1; o > menor valor que a expressão em negrito pode ter para a E R é zero. Sendo assim o menor valor de f(a) = 1. > > Resp: menor valor de f(a) = 1 > > Atenciosamente, > > André Sento Sé Barreto > > PS: Espero ter ajudado de alguma forma > [...] > > --- Ramon Carvalho escreveu: > > > > > 1) Provar que (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre > > > positivo para a E R > > > 1.1) Achar o menor valor dessa função > > > > > > 2 ) Se a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 = > > > (a^3 + b^3 + c^3)/3 . > > > (a^2 + b^2 + c^2)/2 > > > > > > Estou com problemas nessas questões, qualquer ajuda > > > seria bem vinda > > > > > > > > > Desde já, grato > > > > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================