Re: [obm-l] Roleta
Guilherme said:
Olá, pessoal!
Recebi um pedido, há alguns dias, de um amigo que mora na Bélgica. Ele
pediu que eu calculasse para ele, em N rodadas de uma roleta (37
números, de 0 a 36), qual a probabilidade de pelo menos um número dos 37
não aparecer.
Eu vou resolver não o seu problema, mas o seguinte problema: em quantas
sequências do conjunto {0, 1, ..., 36}^N algum dos números de 0 a 36 não
figura? Supondo que todos os números da roleta são equiprováveis, e se R é
a resposta desse problema, basta achar R/37^N.
Quantas seqüencias existem tais que nenhum dos números k_1, k_2, ..., k_p
figura na seqüencia? Claramente, a resposta é (37-p)^N.
Se S_k é o conjunto das seqüências que não contém k, temos que
#(S_0 união S_1 união ... união S_36) =
= soma(p = 1..37) soma(0 = k_1 k_2 ... k_p = 36) (-1)^(p+1)
#(S_k_1 inter S_k_2 inter ... inter S_k_p) =
= soma(p = 1..37) soma(0 = k_1 k_2 ... k_p = 36) (-1)^(p+1) (37-p)^N
pelo Princípio da Inclusão-Exclusão. Como o somatório interno não depende
dos k_p, a soma acima é claramente igual a
soma(p = 1..37) (-1)^(p+1) C(37;p) (37-p)^N.
Como o somatório externo tem limites superior e inferior fixos, a fórmula
encontrada é fechada.
(Eu fiz um programa em Python para testar a fórmula, e ele concorda com
todos os casos iniciais que você colocou no seu email.)
[]s,
--
Fábio Dias Moreira
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RES: [obm-l] Roleta
Olá, Fábio!
Incrível!!! Muito obrigado mesmo!
Um abração!
Guilherme Marques.
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Fabio Dias Moreira
Enviada em: domingo, 27 de fevereiro de 2005 11:19
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Roleta
Guilherme said:
Olá, pessoal!
Recebi um pedido, há alguns dias, de um amigo que mora na Bélgica. Ele
pediu que eu calculasse para ele, em N rodadas de uma roleta (37
números, de 0 a 36), qual a probabilidade de pelo menos um número dos
37
não aparecer.
Eu vou resolver não o seu problema, mas o seguinte problema: em quantas
sequências do conjunto {0, 1, ..., 36}^N algum dos números de 0 a 36 não
figura? Supondo que todos os números da roleta são equiprováveis, e se R
é
a resposta desse problema, basta achar R/37^N.
Quantas seqüencias existem tais que nenhum dos números k_1, k_2, ...,
k_p
figura na seqüencia? Claramente, a resposta é (37-p)^N.
Se S_k é o conjunto das seqüências que não contém k, temos que
#(S_0 união S_1 união ... união S_36) =
= soma(p = 1..37) soma(0 = k_1 k_2 ... k_p = 36) (-1)^(p+1)
#(S_k_1 inter S_k_2 inter ... inter S_k_p) =
= soma(p = 1..37) soma(0 = k_1 k_2 ... k_p = 36) (-1)^(p+1)
(37-p)^N
pelo Princípio da Inclusão-Exclusão. Como o somatório interno não
depende
dos k_p, a soma acima é claramente igual a
soma(p = 1..37) (-1)^(p+1) C(37;p) (37-p)^N.
Como o somatório externo tem limites superior e inferior fixos, a
fórmula
encontrada é fechada.
(Eu fiz um programa em Python para testar a fórmula, e ele concorda com
todos os casos iniciais que você colocou no seu email.)
[]s,
--
Fábio Dias Moreira
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Roleta
Olá, pessoal! Recebi um pedido, há alguns dias, de um amigo que mora na Bélgica. Ele pediu que eu calculasse para ele, em N rodadas de uma roleta (37 números, de 0 a 36), qual a probabilidade de pelo menos um número dos 37 não aparecer. Eu sei que se N=1 ou N=2 ... até N = 36, a probabilidade é 1. Para N = 37, eu achei p=37!/(37^37) Mas para N maior, a coisa começa a complicar e tive que pensar caso a caso, como para N = 38, p = [37.(38!/2!)]/(37^38) ou para N = 39, p = [37.(39!/3!)+(37!/(2!35!).(39!/2!2!))]/(37^39) e assim por diante. Pensei em elaborar um programa que fosse calculando p para valores cada vez maiores de N, mas com o que consegui eu teria que fazer lançamentos aleatórios e contar num número grande de experimentos qual a probabilidade aproximada. Infelizmente eu não consegui ainda achar uma expressão que valesse para todo N. Alerto que esse é um problema de origem prática e que a expressão para qualquer N pode ser monstruosa, então não ficarei chateado se ninguém achar uma expressão bonitinha. Agradeço muito a atenção! Um abraço, Guilherme Marques. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
