Oi Bernardo e Douglas,
Muito agradecido.
--- Em dom, 4/3/12, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com
escreveu:
De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Série numérica
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 4 de Março de 2012, 14:33
2012/3/4 Fabio Bernardo prof_fabioberna...@yahoo.com.br
Preciso de uma ajuda:
O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2005 - 1/2006 é igual a:
a) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2006
b) 1/1004 + 1/1005 + ... + 1/2006
c) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2007
d) 1/1004 + 1/1005 + ... + 1/2007
e) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2005
Menor idéia... Mas um problema como esse obviamente não tem nada a ver
com 2006. Vamos trocar isso por números menores então!
1 - 1/2 = 1/2 (fácil)
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 = 1/2 + 1/12 (fácil, mas 12 é meio grande)
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 = 1/2 + 1/12 + 1/30 (hum, não vai simplificar)
Bom, infelizmente, isso não tem chance de dar muito certo porque os
denominadores estão muito maiores.
Pensando outra vez. O primeiro deu 1 - 1/2 = 1/2, ou seja, pegamos o
último elemento. Será que dá pra melhorar o segundo? Dá sim:
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 = 1/2 + 1/3 - 1/4 = 1/3 + 1/2 - 1/4 = 1/3 + 1/4.
Legal, pegamos os dois últimos. E tem de 1 até 2*2 no denominador.
Será que dá pra generalisar? Deveria, né?
Chame S_n = 1 - 1/2 + ... +1/(2n -1) - 1/(2n).
A gente provou que
S_1 = 1/2
S_2 = 1/3 + 1/4
e fazendo as contas,
S_3 = 1/4 + 1/5 + 1/6
Seja então R_n = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n)
Temos S_n = R_n para n = 1, 2, 3.
Vejamos a indução:
S_(n+1) = S_n + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) = R_n + 1/(2n+1) - 1/(2n+2)
Mas R_n começa com 1/(n+1), que absorve o 1/(2n+2) tornando-o positivo.
Assim, S_(n+1) = R_n - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) = R_(n+1)
Acabou !!
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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