Oi pessoal, Segue solução do problema 4 após a mensagem do Shine. Creio que isso completa as minhas soluções da IMO. Comentários, dúvidas, críticas, etc serão muito bem vindos. Abraços, Gugu
> >Oi gente, lá vai o segundo dia da IMO. > >Como a primeira prova de ontem, eu mesmo traduzi >agora. > >Ainda não pensei nos problemas de hoje, mas eles >parecem ser bem legais! > >Os de ontem foram bem legais também. No começo, achei >que os problemas eram difíceis porque nem tinha muita >idéia de como resolver, mas depois que parei para >pensar com mais calma consegui resolver dois problemas >(1 e 2). > >4. Determine todos os inteiros positivos relativamente >primos com todos os termos da seqüência infinita a_n = >2^n + 3^n + 6^n - 1, n >= 1. > >5. Seja ABCD um quadrilátero convexo e fixado com BC = >DA e BC não paralelo a DA. Sejam E e F dois pontos >variáveis sobre BC e DA, respectivamente, tais que BE >= DF. As retas AC e BD cortam-se em P; as retas BD e >EF cortam-se em Q; as retas EF e AC cortam-se em R. > >Quando variamos E e F, obtemos diferentes triângulos >PQR. Prove que os circuncírculos desses triângulos têm >um ponto comum diferente de P. > >6. Numa competição de matemática na qual foram >propostos 6 problemas, quaisquer dois problemas foram >resolvidos por mais de 2/5 dos estudantes. Além disso, >nenhum estudante resolveu todos os 6 problemas. Mostre >que existem pelo menos 2 estudantes que resolveram 5 >problemas cada um. > >[]'s >Shine > > > >____________________________________________________ >Start your day with Yahoo! - make it your home page >http://www.yahoo.com/r/hs > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > Vamos achar os primos que dividem algum a_n, com n>=1 (esses não podem dividir nenhum elemento desse conjunto de inteiros positivos em questão). Temos que 2 divide a_1=2+3+6-1=10, e 3 divide a_2=2^2+3^2+6^2-1=48. Além disso, como (x-1)(x-2)(x-3)(x-6)=x^4-12x^3+47x^2-72x+36, a seqüência satisfaz a recorrência a_(n+4)=12.a_(n+3)-47.a_(n+2)+72.a_(n+1)-36.a_n (isso pode ser verificado diretamente, mas vejam também o artigo sobre recorrências na Eureka 9). Se p é um primo diferente de 2 e 3, 36 e' inversível módulo p, e a recorrência é reversível: a_n=(36)^(-1).(72.a_(n+1)-47.a_(n+2)+12.a_(n+3)-a_(n+4)) (mod p). Assim, a seqüênciaa_n módulo p é puramente periódica (tem que ser periódica a partir de um certo ponto pois têm que existir naturais distintos k e m com a_(k+j)=a_(m+j) (mod p) para j=0,1,2,3 (pois (Z/pZ)^4 é finito), donde a_(k+j)=a(m+j) (mod p) para todo j natural e, pela reversibilidade, para todo j inteiro. Como a_(-1)=1/2+1/3+1/6-1=0, devemos então ter a_n=0 (mod p) para infinitos valores naturais de n. Assim, todo primo divide a_n para algum inteiro positivo n, donde o único inteiro positivo que satisfaz a condição do enunciado é o 1. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================