Acho que mandei a mensagem anterior sem a solução. Agora la está lá...
Abraços,
Gugu
Oi gente, lá vai o segundo dia da IMO.
Como a primeira prova de ontem, eu mesmo traduzi
agora.
Ainda não pensei nos problemas de hoje, mas eles
parecem ser bem legais!
Os de ontem foram bem legais também. No começo, achei
que os problemas eram difíceis porque nem tinha muita
idéia de como resolver, mas depois que parei para
pensar com mais calma consegui resolver dois problemas
(1 e 2).
4. Determine todos os inteiros positivos relativamente
primos com todos os termos da seqüência infinita a_n =
2^n + 3^n + 6^n - 1, n = 1.
5. Seja ABCD um quadrilátero convexo e fixado com BC =
DA e BC não paralelo a DA. Sejam E e F dois pontos
variáveis sobre BC e DA, respectivamente, tais que BE
= DF. As retas AC e BD cortam-se em P; as retas BD e
EF cortam-se em Q; as retas EF e AC cortam-se em R.
Quando variamos E e F, obtemos diferentes triângulos
PQR. Prove que os circuncírculos desses triângulos têm
um ponto comum diferente de P.
6. Numa competição de matemática na qual foram
propostos 6 problemas, quaisquer dois problemas foram
resolvidos por mais de 2/5 dos estudantes. Além disso,
nenhum estudante resolveu todos os 6 problemas. Mostre
que existem pelo menos 2 estudantes que resolveram 5
problemas cada um.
[]'s
Shine
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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No 5 eu fiz B=(0,0), C=(1,0), D=(c,d) e A=(c+cos(a),d+sen(a)). Se
E=(t,0), F=(c+t.cos(a),d+t.sen(a)), e aí as equações das retas AC, BD e EF
são: AC: y=(d+sen(a))(x-1)/(c+cos(a)-1), BD: y=dx/c,
EF: y=(d+t.sen(a))(x-t)/(c+t.(cos(a)-1)). Achamos então P,Q e R: fazendo
w=c.sen(a)-d(cos(a)-1), temos P=(c(d+sen(a)),d(d+sen(a)))/w, Q=P+(1-t)u,
R=P+tv, onde u=-sen(a).(c,d)/w e v=sen(a).(c+cos(a)-1,d+sen(a))/w (não vou
me preocupar com denominadores que eventualmente se anulem - esses casos
seguem por continuidade). Agora, via uma homotetia, podemos supor que
P=(0,0), Q=(1-t,0) e R=(tm,th). O circuncírculo de PQR tem equação C+tL=0,
onde C=x^2-x+y^2-my/h e L=x-(m^2+h^2+m)/h. Assim, todos eles passam pelos
dois pontos de interseção de (C=0) e (L=0), que são (0,0)=P e
s.(m^2+m+h^2,h), onde s=(m^2+h^2)/(h^2+(m^2+m+h^2)^2). E acabou, né ?
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