Nossa! Eu estava tao fixado em logaritmos, irracionais, fracoes continuas e
casas de pombos que acabei nao vendo o obvio == acabei desobedecendo o
axioma numero 2...
Obrigado, Gugu!
Um abraco,
Claudio.
on 16.09.03 20:19, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Bem, voce quase ja' provou isso: a monotonicidade mostra que a(n)
converge a a e b(b) a b com a=1=b. Para n grande trocamos um par perto de
(a,b) por um par perto de (a.b,b) ou por um par perto de (a,a.b). Assim,
devemos ter a.b=a, donde b=1 ou a.b=b, donde a=1. Assim, a=1 ou b=1. Se a=1
e b1, para n grande acabamos caindo sempre no segundo caso, mas ai
a(n+1)=a(n), e logo a(n) fica constante e menor que 1 a partir desse ponto,
e logo converge a essa constante menor que 1, contradizendo a=1. O outro
caso (a1 e b=1) e' analogo, e portanto devemos ter a=b=1.
Abracos,
Gugu
Oi, pessoal:
Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
positivos} eh denso em R.
A demonstracao do Marcio pode ser adaptada para se provar o seguinte:
Sejam a, b reais tais que 0 a 1 b e a^m*b^n 1, para quaisquer m, n
inteiros positivos.
Sejam as sequencias (a(k)) e (b(k)) definidas por:
a(1) = a; b(1) = b
Para n = 1:
a(n)*b(n) 1 == a(n+1) = a(n)*b(n) e b(n+1) = b(n);
a(n)*b(n) 1 == a(n+1) = a(n) e b(n+1) = a(n)*b(n).
Prove que: lim a(n) = lim b(n) = 1.
Levando em conta que a^m*b^n 1 para quaisquer inteiros positivos m e n se
e somente se log_b(a) eh irracional, nos caimos no problema anterior e
acabou...
Eu gostaria de ver uma demonstracao mais elementar deste resultado.
Por exemplo, eh facil ver que a(n) e b(n) sao monotonas e limitadas. Assim,
falta provar que sup(a(n)) = inf(b(n)) = 1.
Qulquer dica serah bem-vinda.
Um abraco,
Claudio.
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Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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