RE: [obm-l] Teo. Riez
O livro do Reed e bem interessante ! O livro do Kreysig, e tambem do Rudin apresentam provas ! -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Bernardo Freitas Paulo da Costa Sent: Wednesday, March 30, 2005 11:33 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Teo. Riez Bom, eu não sei se é algo que você vá gostar, mas tem o livro (na verdade são vários, mas para você é o primeiro) Methods of Modern Mathematical Physics, Reed & Simon, que explica bastante bem Análise Funcional, e acho que ele prova o Teorema de Riesz, que na sua forma geral é: Se f(x) é um funcional linear, então f(x) = para algum a e <,> é um produto interno, que por definição é uma forma bilinear simétrica positiva definida (aqui não dá para falar de matriz, já que pode ter base infinita!). E daí, para ter o que você quer, acho que basta fazer uma demonstração de "mudança de base". Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 30 Mar 2005 14:34:22 -0300 (ART), Bruno Lima <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Sendo A uma matriz nxn simetrica, positiva definida entao x´Ay (x´ é x > transposto ) define um produto interno de x por y . Queria saber se vale a > volta: dado um produto < , > interno em R^n existe uma matriz A como acima > tal que =xAy > > Ou seja caracteriza produto interno em R^n > > Vou dar uma olhada no livro do Elon de Algebra Linear. > Um amigo falou pra eu olhar sobre o Teorema de Riez que sob certa condicoes, > caracteriza operadores lineares , achei num livro de Analise Funcional mas > viajei um pouco, alguem sabe um bom livro onde encontro esse Teorema > > Valeu, abraco > > > Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teo. Riez
Bom, eu não sei se é algo que você vá gostar, mas tem o livro (na verdade são vários, mas para você é o primeiro) Methods of Modern Mathematical Physics, Reed & Simon, que explica bastante bem Análise Funcional, e acho que ele prova o Teorema de Riesz, que na sua forma geral é: Se f(x) é um funcional linear, então f(x) = para algum a e <,> é um produto interno, que por definição é uma forma bilinear simétrica positiva definida (aqui não dá para falar de matriz, já que pode ter base infinita!). E daí, para ter o que você quer, acho que basta fazer uma demonstração de "mudança de base". Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 30 Mar 2005 14:34:22 -0300 (ART), Bruno Lima <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Sendo A uma matriz nxn simetrica, positiva definida entao x´Ay (x´ é x > transposto ) define um produto interno de x por y . Queria saber se vale a > volta: dado um produto < , > interno em R^n existe uma matriz A como acima > tal que =xAy > > Ou seja caracteriza produto interno em R^n > > Vou dar uma olhada no livro do Elon de Algebra Linear. > Um amigo falou pra eu olhar sobre o Teorema de Riez que sob certa condicoes, > caracteriza operadores lineares , achei num livro de Analise Funcional mas > viajei um pouco, alguem sabe um bom livro onde encontro esse Teorema > > Valeu, abraco > > > Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Teo. Riez
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"OBM lISTA" obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Wed, 30 Mar 2005 14:34:22 -0300 (ART)
Assunto:
[obm-l] Teo. Riez
> Sendo A uma matriz nxn simetrica, positiva definida entao x´Ay (x´ é x transposto ) define um produto interno de x por y . Queria saber se vale a volta: dado um produto < , > interno em R^n existe uma matriz A como acima tal que =xAy
>
> Ou seja caracteriza produto interno em R^n
>
> Vou dar uma olhada no livro do Elon de Algebra Linear.
> Um amigo falou pra eu olhar sobre o Teorema de Riez que sob certa condicoes, caracteriza operadores lineares , achei num livro de Analise Funcional mas viajei um pouco, alguem sabe um bom livro onde encontro esse Teorema
>
Seja {u_1, u_2, ..., u_n} uma base do R^n.
Um produto interno no R^n é totalmente caracterizado pelos n(n+1)/2 valores de com 1 <= i <= j <= n.
Sejam x = x_1*u_1 + ... + x_n*u_n e y = y_1*u_1 + ... + y_n*u_n dois vetores arbitrários do R^n.
Então = SOMA(1<=i,j<=n) x_i*y_j*.
Seja a matriz A(nxn) cujo elemento A_i,j = é igual a .
É fácil ver que, neste caso, = [x]'*A*[y], onde:
[x] = (x_1, x_2, ..., x_n)' e [x]' = transposto de x (idem para [y]).
Obviamente A é simétrica, pois =
Se u_i é o i-ésimo vetor da base, então:
[u_i]' = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) (i-ésima coordenada igual a 1) ==>
[u_i]'*A*[u_i] = A_i,i = > 0 ==>
A é positiva definida
Em suma, dado um produto interno e uma base do R^n, existe uma única matriz simétrica positiva definida A tal que = [x]'*A*[y].
Aliás, isso vale para qualquer espaço vetorial de dimensão finita sobre R (sobre C também, mas nesse caso, a definição de produto interno é ligeiramente diferente e a matriz é hermitiana)
[]s,
Claudio.
[obm-l] Teo. Riez
Sendo A uma matriz nxn simetrica, positiva definida entao x´Ay (x´ é x transposto ) define um produto interno de x por y . Queria saber se vale a volta: dado um produto < , > interno em R^n existe uma matriz A como acima tal que =xAy Ou seja caracteriza produto interno em R^n Vou dar uma olhada no livro do Elon de Algebra Linear. Um amigo falou pra eu olhar sobre o Teorema de Riez que sob certa condicoes, caracteriza operadores lineares , achei num livro de Analise Funcional mas viajei um pouco, alguem sabe um bom livro onde encontro esse Teorema Valeu, abraco Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
