Re: [obm-l] Teorema de Silvester

[larryp]

Caro Paulo:

Você levantou uma questão interessante e relevante tanto para quem está
escrevendo um livro ou artigo expositório quanto para quem está prestando um
exame discursivo.

Eu me lembro de uma discussão há pouco tempo aqui na lista sobre a
necessidade ou não de se justificar a fórmula da área de um triângulo via
determinantes, e a conclusão pareceu ser que um candidato poderia usar esta
fórmula sem precisar prová-la (até porque trata-se de um resultado bastante
conhecido, tipo fórmula da distância de ponto a reta, ou área da elipse, por
exemplo).

No entanto, o que você acharia, como professor, se um aluno escrevesse numa
prova, sem nenhuma justificativa adicional, algo do tipo "e como um inteiro
positivo tem um número ímpar de divisores, podemos concluir que ele é um
quadrado perfeito." ou então "e como para cada k com 0 < k < n, o
coeficiente binomial C(n,k) é par, temos que n é uma potência de 2.
Portanto, ..." ?

No caso do livro que contém o resultado do Conway, até por razões didáticas,
eu concordo com a sua argumentação. O fato de termos de preencher algumas
lacunas elementares na exposição ajuda, e muito, na solidificação do
conhecimento (nada como ser obrigado a pensar um pouco, de vez em quando!).

A única coisa que realmente me incomoda é o uso de expressões do tipo
CLARAMENTE, TRIVIALMENTE, É ÓBVIO QUE, etc. quando o resultado ao qual a
expressão se refere não é evidente (como seria, por exemplo, o caso da
desigualdade 1 <= Ra <= M ou algum caso de congruência de triângulos), mas
apenas elementar (caso, na minha opinião, dos dois exemplos que eu dei
acima, da desigualdades 2 <= Ra < m e, por exemplo, de vários teoremas de
geometria, tipo lei dos senos e dos cossenos, Pitágoras, fórmula de Heron
para área do triângulo, etc.)

Por outro lado, acho que você foi injustiçado em sua prova de análise. Na
questão do Xn versus (Xn) sem comentários - o seu Prof. também deve tirar
pontos por caligrafia E, pelo menos para mim, a sequência 1, 2, 1, 3, 1,
4,.. é CLARAMENTE divergente e CLARAMENTE tem 1 como valor de aderência -
muito mais claramente do que 2 <= Ra < m.

Dito isso, ainda não provei o resultado, mas pelo menos achei n subconjuntos
que satisfazem às condições. Se X = {1,2,...,n} então teremos A(1) = {1,n},
A(2) = {2,n}, ..., A(n-1) = {n-1,n} e A(n) = {1,2,...,n-1}. Além disso,
nenhum deles pode ser removido sem que algum par fique "descoberto" . O
problema agora é que eu fico tentando achar uma sacada genial, que prova o
resultado em 1 linha, e como eu não sou o John Conway

Um abraço,
Claudio.

- Original Message -
From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, January 01, 2003 9:35 PM
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester


> Ola Claudio e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> Ola Claudio ! Acho que voce concorda comigo que o raciocinio que voce
> desenvolveu para ver que, para qualquer "a" em X, 2 =< Ra < m, e bastante
> elementar, certo ? Imagine o que ocorreria se em uma exposicao cientifica
> nos fossemos obrigados a demonstrar explicitamente cada detalhe ...
>
> Muito Provavelmente, o Conway supos isso evidente. O Livro a que me referi
> tem esta beleza : voce precisa parar para ESTUDAR A DEMONSTRACAO : ele nao
> perde tempo com detalhes mais ou menos faceis de perceber !
>
> Tudo isso me faz lembrar um Prof de Analise que eu tive. Numa questao de 2
> pontos ele tirou ( eu acho que a questao era : PROVE QUE FECHO(X)=PONTOS
DE
> ACUMULACAO DE X unido FRONTEIRA DE X ).4 duas vezes simplesmente porque ao
> falar sobre uma sequencia eu coloquei "Xn" e nao (Xn). Mais adiante, numa
> outra questao, como contra-exemplo da afirmacao "Toda sequencia que tem um
> valor de aderencia e convergente" eu apresentei a sequencia
1,2,1,3,1,4,1,5,
> ... O Prof tirou .5 alegando que que era preciso provar que tal sequencia
> nao e convergente ... 
>
> Bom, como eu ja conhecia um pouquinho de analise, o Prof era inflexivel e
eu
> ja havia lido e visto Grandes Mestres desta area, que evidentemente nao
> perdem tempo com estas picuinhas, conclui que o melhor era deixa-lo
perdido
> em seu apego ( ou "a-te-pego" ? ) a um rigor improficuo.
>
> Em sintese, acho suas demonstracoes validas e eu estava pensando se
deveria
> ou nao explicar porque 2 =< Ra < m, nao obstante estar mais inclinado a
> supor que aqui na lista todos perceberiam com facilidade as razoes de tal
> desigualdade.
>
> O Conway admite outras evidencias, proseguindo ... se "a" nao esta em Ai
> entao Ra >= |Ai|, onde Ai e o numero de elementos de Ai. Isso e realmente
> evidente ou e preciso demonstrar ?
>
> Um abraco
> Paulo Santa Rita
> 4,2125,010103
>
>
>
> >From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAI

Re: [obm-l] Teorema de Silvester

[Paulo Santa Rita]

Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Ola Claudio ! Acho que voce concorda comigo que o raciocinio que voce 
desenvolveu para ver que, para qualquer "a" em X, 2 =< Ra < m, e bastante 
elementar, certo ? Imagine o que ocorreria se em uma exposicao cientifica 
nos fossemos obrigados a demonstrar explicitamente cada detalhe ...

Muito Provavelmente, o Conway supos isso evidente. O Livro a que me referi 
tem esta beleza : voce precisa parar para ESTUDAR A DEMONSTRACAO : ele nao 
perde tempo com detalhes mais ou menos faceis de perceber !

Tudo isso me faz lembrar um Prof de Analise que eu tive. Numa questao de 2 
pontos ele tirou ( eu acho que a questao era : PROVE QUE FECHO(X)=PONTOS DE 
ACUMULACAO DE X unido FRONTEIRA DE X ).4 duas vezes simplesmente porque ao 
falar sobre uma sequencia eu coloquei "Xn" e nao (Xn). Mais adiante, numa 
outra questao, como contra-exemplo da afirmacao "Toda sequencia que tem um 
valor de aderencia e convergente" eu apresentei a sequencia 1,2,1,3,1,4,1,5, 
... O Prof tirou .5 alegando que que era preciso provar que tal sequencia 
nao e convergente ... 

Bom, como eu ja conhecia um pouquinho de analise, o Prof era inflexivel e eu 
ja havia lido e visto Grandes Mestres desta area, que evidentemente nao 
perdem tempo com estas picuinhas, conclui que o melhor era deixa-lo perdido 
em seu apego ( ou "a-te-pego" ? ) a um rigor improficuo.

Em sintese, acho suas demonstracoes validas e eu estava pensando se deveria 
ou nao explicar porque 2 =< Ra < m, nao obstante estar mais inclinado a 
supor que aqui na lista todos perceberiam com facilidade as razoes de tal 
desigualdade.

O Conway admite outras evidencias, proseguindo ... se "a" nao esta em Ai 
entao Ra >= |Ai|, onde Ai e o numero de elementos de Ai. Isso e realmente 
evidente ou e preciso demonstrar ?

Um abraco
Paulo Santa Rita
4,2125,010103



From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Date: Mon, 30 Dec 2002 14:50:42 -0200

Caro Paulo:

Ainda não descobri a solução mágica do Conway, mas discordo do
"claramente"com o qual ele começa.

" Se "a" pertence a "X", seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
{1,2,...,M }, tal que "a" pertence a Ai. CLARAMENTE 2 =< Ra < M ..."

Para mim, só é claro é que 1 <= Ra <= M, pois cada par (e portanto cada
elemento de X) pertence a pelo menos um subconjunto e existem M
subconjuntos.



Deduzir que Ra >=2 e que Ra < M não é muito difícil, mas está longe de ser
óbvio.

Suponhamos que Ra = 1. Então "a" pertence a um único Ai, e portanto, todos
os N - 1 pares que contém "a" têm de ser subconjuntos de Ai. Mas isso
implicaria que todos os outros N - 1 elementos de X estariam também em Ai,
ou seja Ai = X, em contradição à condição de ser Ai um subconjunto próprio
de X.

Assim, Ra >= 2.


Voce nao percebeu que e obvio que Ra >= 2 porque voce so olhou por um 
angulo, o angulo acima que voce expos. O enunciado e claro quando afirma que 
N > 2. Logo, ha ao menos 3 elementos, portanto, qualquer elemento de X 
estara ao menos em dois pares e portanto, Ra >= 2.


Suponhamos que Ra = M. Então, "a" pertence a todos os Ai. Neste caso, cada
um dos outros N - 1 elementos de X deve pertencer a um subconjunto 
distinto.
Caso contrário, tomando um elemento "b", distinto de "a" e que pertença a 
Aj
e Ak (j<>k) formaremos o par {a,b}, o qual estará contido em Aj e Ak, em
contradição à condição de cada par estar contido num único subconjunto.

Mas se cada um dos outros N - 1 elementos de X pertence a um subconjunto
distinto, teremos que M <= N-1, e cada subconjunto será da forma {a,x}, 
onde
x é um dos outros N - 1 elementos de X. Isso significa que, dados "b" e "c"
diferentes de "a" e entre si, o par {b,c} não estará contido em nenhum dos
Ai, em contradição à condição de cada par estar contido em algum (de fato,
em exatamente um) subconjunto.

Assim, Ra < M.


Mais uma vez, voce nao viu que e obvio porque so pensou de uma maneira ... 
se para algum "a", "a" estivesse em todos os Ai entao tomando dois deles 
{a,b} e {a,c) o par {b,c) estaria em algum Ai que teria "a", um absurdo pois 
cada par esta EM UM UNICO SUBCONJUNTO.



Concluindo, 2 <= Ra < M, e a demonstração de 1 linha do Conway vai se
alongando...

Do jeito que começa, esta demonstração do Conway lembra a demonstração - em
uma frase - do Don Zagier que todo primo p = 1 (mod 4) pode ser expresso
como soma de dois quadrados...curta mas com vários detalhes não totalmente
óbvios. Aqui está ela:

A involução no conjunto finito S = {(x,y,z) pertencentes a N^3 tais que x^2
+4yz = p }, onde p é um número primo = 1 (mod 4) definida por:

  

Re: [obm-l] Teorema de Silvester

[Cláudio \(Prática\)]

Caro Paulo:

Ainda não descobri a solução mágica do Conway, mas discordo do
"claramente"com o qual ele começa.

" Se "a" pertence a "X", seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
{1,2,...,M }, tal que "a" pertence a Ai. CLARAMENTE 2 =< Ra < M ..."

Para mim, só é claro é que 1 <= Ra <= M, pois cada par (e portanto cada
elemento de X) pertence a pelo menos um subconjunto e existem M
subconjuntos.

Deduzir que Ra >=2 e que Ra < M não é muito difícil, mas está longe de ser
óbvio.

Suponhamos que Ra = 1. Então "a" pertence a um único Ai, e portanto, todos
os N - 1 pares que contém "a" têm de ser subconjuntos de Ai. Mas isso
implicaria que todos os outros N - 1 elementos de X estariam também em Ai,
ou seja Ai = X, em contradição à condição de ser Ai um subconjunto próprio
de X.

Assim, Ra >= 2.

Suponhamos que Ra = M. Então, "a" pertence a todos os Ai. Neste caso, cada
um dos outros N - 1 elementos de X deve pertencer a um subconjunto distinto.
Caso contrário, tomando um elemento "b", distinto de "a" e que pertença a Aj
e Ak (j<>k) formaremos o par {a,b}, o qual estará contido em Aj e Ak, em
contradição à condição de cada par estar contido num único subconjunto.

Mas se cada um dos outros N - 1 elementos de X pertence a um subconjunto
distinto, teremos que M <= N-1, e cada subconjunto será da forma {a,x}, onde
x é um dos outros N - 1 elementos de X. Isso significa que, dados "b" e "c"
diferentes de "a" e entre si, o par {b,c} não estará contido em nenhum dos
Ai, em contradição à condição de cada par estar contido em algum (de fato,
em exatamente um) subconjunto.

Assim, Ra < M.

Concluindo, 2 <= Ra < M, e a demonstração de 1 linha do Conway vai se
alongando...

Do jeito que começa, esta demonstração do Conway lembra a demonstração - em
uma frase - do Don Zagier que todo primo p = 1 (mod 4) pode ser expresso
como soma de dois quadrados...curta mas com vários detalhes não totalmente
óbvios. Aqui está ela:

A involução no conjunto finito S = {(x,y,z) pertencentes a N^3 tais que x^2
+4yz = p }, onde p é um número primo = 1 (mod 4) definida por:

 ( x+2z, z, y-x-z )  se   x < y-z
   (x,y,z)   --->   ( 2y-x, y, x-y+z )  se  y-z < x < 2y
 ( x-2y, x-y+z, y )  se  x > 2y

tem exatamente um ponto fixo, de forma que S tem um número ímpar de
elementos e a involução definida por:

   (x,y,z)   --->   (x,z,y)

também tem um ponto fixo.

NOTAS:
1. Uma involução em S, é uma função F : S --> S tal que para todo x em S,
F(F(x)) = x.
2. x é um ponto fixo de F <==> F(x) = x.


Um abraço,
Claudio.

- Original Message -
From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Saturday, December 28, 2002 2:27 PM
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester


Ola Dudu e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

E ai Dudu ? Tudo Legal ?
Fico contente em ver voce participar da lista !

Leia com mais atencao o Teorema do Conway. Nao e o que voce esta pensando
...

A1, A2, A3, ..., Am sao subconjuntos proprios quaisquer tais que qualquer
conbinacao de dois elementos de X esta PRECISAMENTE em um
dos Ai. O Conway comeca a prova dele assim :

Se "a" pertence a "X", seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
{1,2,...,m }, tal que "a" pertence a Ai. Claramente 2 =< Ra < m ...

Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,1425,281202






>From: "Eduardo Fischer" <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: <[EMAIL PROTECTED]>
>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
>Date: Sat, 28 Dec 2002 12:56:05 -0200
>
>Basta tomarmos os N conjuntos unitários e os pares ( que serão três no
>mínimo ), sendo maior que N a soma. Acho que é isso.
>Fischer
>
>- Original Message -
>From: Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]>
>To: <[EMAIL PROTECTED]>
>Sent: Friday, December 27, 2002 1:51 AM
>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
>
>
> > Ola Jose Francisco e demais
> > colegas desta lista ... OBM-L,
> >
> > Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei
>mais
> > atento.
> >
> > A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com
>notacao
> > semelhante. E necessario corrigir apenas :
> >
> > 1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N > 2,
> > pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera vazio.
> >
> > 2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa "Q" como pe da
> > perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de "Q".
> >
> > 3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima : pode
> > haver m

Re: [obm-l] Teorema de Silvester

[Paulo Santa Rita]

Ola Dudu e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

E ai Dudu ? Tudo Legal ?
Fico contente em ver voce participar da lista !

Leia com mais atencao o Teorema do Conway. Nao e o que voce esta pensando 
...

A1, A2, A3, ..., Am sao subconjuntos proprios quaisquer tais que qualquer 
conbinacao de dois elementos de X esta PRECISAMENTE em um
dos Ai. O Conway comeca a prova dele assim :

Se "a" pertence a "X", seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
{1,2,...,m }, tal que "a" pertence a Ai. Claramente 2 =< Ra < m ...

Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,1425,281202






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To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Date: Sat, 28 Dec 2002 12:56:05 -0200

Basta tomarmos os N conjuntos unitários e os pares ( que serão três no
mínimo ), sendo maior que N a soma. Acho que é isso.
Fischer

- Original Message -
From: Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Friday, December 27, 2002 1:51 AM
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester


> Ola Jose Francisco e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei 
mais
> atento.
>
> A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com
notacao
> semelhante. E necessario corrigir apenas :
>
> 1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N > 2,
> pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera vazio.
>
> 2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa "Q" como pe da
> perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de "Q".
>
> 3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima : pode
> haver mais de um !
>
> A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das coordenadas
> homogeneas.
>
> A generalizacao do Conway e a seguinte :
>
> Seja X um conjunto con N elementos (N>2) e sejam A1, A2, ...,Am
subconjuntos
> proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em
> precisamente um dos Ai. Entao M >= N.
>
> Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante o
> pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou.
>
> Um Abraco
> Paulo Santa Rita
> 5,0145,271202
>
> >From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]>
> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
> >To: <[EMAIL PROTECTED]>
> >Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
> >Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200
> >
> >Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem 
mais
> >longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e
chega
> >a uma contradição:
> >
> >Dado o conjunto "C" dos N pontos, considere o conjunto de todos os 
pares
(
> >P
> >, QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R
> >pertencentes a "C").
> >
> >Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de "C" pertencem a 
uma
> >mesma reta.
> >
> >Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a 
menor
> >possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada.
> >
> >Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver um
> >terceiro ponto do conjunto "C" na reta QR então pelo menos dois destes
> >pontos estarão de um mesmo lado de P1.
> >
> >Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo 
de P1
> >(Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado 
que Q
> >em relação a P1.
> >
> >Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será 
menor
> >do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a 
escolha
> >inicial do par ( P , QR ).Ola Jose Francisco e demais
> >colegas desta lista ... OBM-L,
>
> >
> >Curiosidade: Existe também o resultado dual:
> >Se dispusermos de N (N>2) retas em um plano tais que nem todas passam 
por
> >um
> >mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão
> >exatamente duas retas.
> >
> >Um abraço,
> >Claudio.
> >
> >- Original Message -
> >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]>
> >To: <[EMAIL PROTECTED]>
> >Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM
> >Subject: [obm-l] Teorema de Silvester
> >
> >
> >Santa Rita,
> >
> >Não nos mate de curiosidade.
> >
> >Qual a demonstração de Conway?
> >
> >E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não
> >serão, já que uma demonstração

Re: [obm-l] Teorema de Silvester

[Eduardo Fischer]

Basta tomarmos os N conjuntos unitários e os pares ( que serão três no
mínimo ), sendo maior que N a soma. Acho que é isso.
Fischer

- Original Message -
From: Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Friday, December 27, 2002 1:51 AM
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester


> Ola Jose Francisco e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei mais
> atento.
>
> A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com
notacao
> semelhante. E necessario corrigir apenas :
>
> 1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N > 2,
> pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera vazio.
>
> 2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa "Q" como pe da
> perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de "Q".
>
> 3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima : pode
> haver mais de um !
>
> A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das coordenadas
> homogeneas.
>
> A generalizacao do Conway e a seguinte :
>
> Seja X um conjunto con N elementos (N>2) e sejam A1, A2, ...,Am
subconjuntos
> proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em
> precisamente um dos Ai. Entao M >= N.
>
> Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante o
> pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou.
>
> Um Abraco
> Paulo Santa Rita
> 5,0145,271202
>
> >From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]>
> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
> >To: <[EMAIL PROTECTED]>
> >Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
> >Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200
> >
> >Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem mais
> >longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e
chega
> >a uma contradição:
> >
> >Dado o conjunto "C" dos N pontos, considere o conjunto de todos os pares
( 
> >P
> >, QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R
> >pertencentes a "C").
> >
> >Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de "C" pertencem a uma
> >mesma reta.
> >
> >Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a menor
> >possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada.
> >
> >Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver um
> >terceiro ponto do conjunto "C" na reta QR então pelo menos dois destes
> >pontos estarão de um mesmo lado de P1.
> >
> >Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo de P1
> >(Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado que Q
> >em relação a P1.
> >
> >Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será menor
> >do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a escolha
> >inicial do par ( P , QR ).Ola Jose Francisco e demais
> >colegas desta lista ... OBM-L,
> 
> >
> >Curiosidade: Existe também o resultado dual:
> >Se dispusermos de N (N>2) retas em um plano tais que nem todas passam por 
> >um
> >mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão
> >exatamente duas retas.
> >
> >Um abraço,
> >Claudio.
> >
> >- Original Message -
> >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]>
> >To: <[EMAIL PROTECTED]>
> >Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM
> >Subject: [obm-l] Teorema de Silvester
> >
> >
> >Santa Rita,
> >
> >Não nos mate de curiosidade.
> >
> >Qual a demonstração de Conway?
> >
> >E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não
> >serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser
> >necessariamente breve - também a de Kelly.
> >
> >JF
> >
> >PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde 
> >está
> >"Se dispormos N ( N > 2 ) pontos..." deveria estar "Se dispusermos N (N>2)
> >pontos..."
> >
> >JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a est
ória do
> >"destacado" certamente seria considerada off topic pelo N)
> >
> >- Original Message -
> >From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
> >To: <[EMAIL PROTECTED]>
> >Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM
> >Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso !
> >
> >
> > > Ola Pes

Re: [obm-l] Teorema de Silvester

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Este problema ja apareceu na lista.A ideia e considerar um tipo de minima distancia e ver que a contra-hipotese seria falsa.Eu ja perguntei isso aqui!
 Cláudio_(Prática) <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem maislonga do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e chegaa uma contradição:Dado o conjunto "C" dos N pontos, considere o conjunto de todos os pares ( P, QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e Rpertencentes a "C").Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de "C" pertencem a umamesma reta.Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a menorpossível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada.Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver umterceiro ponto do conjunto "C" na reta QR então pelo menos dois destespontos estarão de um mesmo lado de P1.Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo de P1(Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado que Qem relação a P1.Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será menordo que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a escolhainicial do par ( P , QR ).Curiosidade: Existe também o resultado dual:Se dispusermos de N (N>2) retas em um plano tais que nem todas passam por ummesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirãoexatamente duas retas.Um abraço,Claudio.- Original Message -From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]> 2 ) pontos..." deveria estar "Se dispusermos N (N>2)pontos..."JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a estória do"destacado" certamente seria considerada off topic pelo N)- Original Message -From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PMSubject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso !> Ola Pessoal,>> Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei a(...)>> Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER :>> Se dispormos N ( N > 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao estejamem> uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois deles.>> OU SEJA :>> Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de forma queque> toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro.>> A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de estarn'O> LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta> generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever tamanhabeleza> !>> Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia fazeralgo> melhor.>> Um Grande Abraco a Todos !> Paulo Santa Rita> 4,1651,251202=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! 
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Re: [obm-l] Teorema de Silvester

[Paulo Santa Rita]

Ola Jose Francisco e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei mais
atento.

A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com notacao
semelhante. E necessario corrigir apenas :

1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N > 2,
pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera vazio.

2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa "Q" como pe da
perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de "Q".

3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima : pode
haver mais de um !

A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das coordenadas
homogeneas.

A generalizacao do Conway e a seguinte :

Seja X um conjunto con N elementos (N>2) e sejam A1, A2, ...,Am subconjuntos
proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em
precisamente um dos Ai. Entao M >= N.

Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante o 
pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,0145,271202

From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200

Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem mais
longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e chega
a uma contradição:

Dado o conjunto "C" dos N pontos, considere o conjunto de todos os pares ( 
P
, QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R
pertencentes a "C").

Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de "C" pertencem a uma
mesma reta.

Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a menor
possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada.

Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver um
terceiro ponto do conjunto "C" na reta QR então pelo menos dois destes
pontos estarão de um mesmo lado de P1.

Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo de P1
(Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado que Q
em relação a P1.

Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será menor
do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a escolha
inicial do par ( P , QR ).Ola Jose Francisco e demais
colegas desta lista ... OBM-L,



Curiosidade: Existe também o resultado dual:
Se dispusermos de N (N>2) retas em um plano tais que nem todas passam por 
um
mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão
exatamente duas retas.

Um abraço,
Claudio.

- Original Message -
From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM
Subject: [obm-l] Teorema de Silvester


Santa Rita,

Não nos mate de curiosidade.

Qual a demonstração de Conway?

E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não
serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser
necessariamente breve - também a de Kelly.

JF

PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde 
está
"Se dispormos N ( N > 2 ) pontos..." deveria estar "Se dispusermos N (N>2)
pontos..."

JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a estória do
"destacado" certamente seria considerada off topic pelo N)

- Original Message -
From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM
Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso !


> Ola Pessoal,
>
> Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei a
(...)
>
> Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER :
>
> Se dispormos N ( N > 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao 
estejam
em
> uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois deles.
>
> OU SEJA :
>
> Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de forma que
que
> toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro.
>
> A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de estar
n'O
> LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta
> generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever tamanha
beleza
> !
>
> Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia fazer
algo
> melhor.
>
> Um Grande Abraco a Todos !
> Paulo Santa Rita
> 4,1651,251202


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
==

Re: [obm-l] Teorema de Silvester

[Cláudio \(Prática\)]

Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem mais
longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e chega
a uma contradição:

Dado o conjunto "C" dos N pontos, considere o conjunto de todos os pares ( P
, QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R
pertencentes a "C").

Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de "C" pertencem a uma
mesma reta.

Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a menor
possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada.

Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver um
terceiro ponto do conjunto "C" na reta QR então pelo menos dois destes
pontos estarão de um mesmo lado de P1.

Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo de P1
(Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado que Q
em relação a P1.

Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será menor
do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a escolha
inicial do par ( P , QR ).

Curiosidade: Existe também o resultado dual:
Se dispusermos de N (N>2) retas em um plano tais que nem todas passam por um
mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão
exatamente duas retas.

Um abraço,
Claudio.

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Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM
Subject: [obm-l] Teorema de Silvester


Santa Rita,

Não nos mate de curiosidade.

Qual a demonstração de Conway?

E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não
serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser
necessariamente breve - também a de Kelly.

JF

PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde está
"Se dispormos N ( N > 2 ) pontos..." deveria estar "Se dispusermos N (N>2)
pontos..."

JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a estória do
"destacado" certamente seria considerada off topic pelo N)

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Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM
Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso !


> Ola Pessoal,
>
> Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei a
(...)
>
> Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER :
>
> Se dispormos N ( N > 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao estejam
em
> uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois deles.
>
> OU SEJA :
>
> Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de forma que
que
> toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro.
>
> A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de estar
n'O
> LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta
> generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever tamanha
beleza
> !
>
> Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia fazer
algo
> melhor.
>
> Um Grande Abraco a Todos !
> Paulo Santa Rita
> 4,1651,251202


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[Jose Francisco Guimaraes Costa]

Santa Rita,

Não nos mate de curiosidade.

Qual a demonstração de Conway?

E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não
serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser
necessariamente breve - também a de Kelly.

JF

PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde está
"Se dispormos N ( N > 2 ) pontos..." deveria estar "Se dispusermos N (N>2)
pontos..."

JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a estória do
"destacado" certamente seria considerada off topic pelo N)

- Original Message -
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Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM
Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso !


> Ola Pessoal,
>
> Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei a
(...)
>
> Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER :
>
> Se dispormos N ( N > 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao estejam
em
> uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois deles.
>
> OU SEJA :
>
> Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de forma que
que
> toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro.
>
> A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de estar
n'O
> LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta
> generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever tamanha
beleza
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>
> Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia fazer
algo
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>
> Um Grande Abraco a Todos !
> Paulo Santa Rita
> 4,1651,251202


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