[obm-l] Teorema do Valor Intermediário e Função Monótona

[Bruno Pereira Dias]

Olá pessoal,

Em minha aula de Cálculo surgiu uma questão que o professor não conseguiu responder:

Suponha que f seja uma função que satisfaça a conclusão do Teorema do
Valor Intermediário num intervalo [a,b], mas f toma cada valor entre
f(a) e f(b) apenas uma única vez. Prove ou dê um contra-exemplo que f é
monótona em [a,b].Agradeço qualquer ajuda,

Bruno--Hiroshima 45, Chernobyl 86, Windows 98... God, save the Linux!

Re: [obm-l] Teorema do Valor Intermediário e Função Monótona

[Nicolau C. Saldanha]

On Thu, May 12, 2005 at 08:48:13AM -0300, Bruno Pereira Dias wrote:
 Olá pessoal,
 
 Em minha aula de Cálculo surgiu uma questão que o professor não conseguiu 
 responder:
 
 Suponha que f seja uma função que satisfaça a conclusão do Teorema do Valor 
 Intermediário num intervalo [a,b], mas f toma cada valor entre f(a) e f(b) 
 apenas uma única vez. Prove ou dê um contra-exemplo que f é monótona em 
 [a,b].

Sim, é verdade.

Suponha sem perda de generalidade que f(a)  f(b).
Suponha por absurdo que existam c e d, a = c  d = b, f(c)  f(d).
Não podemos ter a = c e d = b, então suponha sem perda de generalidade
que a  c  d = b.

Se f(a)  f(c), seja y  f(c), y  f(a), y  f(d).
Por hipótese f satisfaz a conclusão do TFI, donde existem
x1 entre a e c e x2 entre c e d com f(x1) = f(x2) = y, contradição.

Se f(a)  f(c), seja y  f(c), y  f(a), y  f(b).
Por hipótese f satisfaz a conclusão do TFI, donde existem
x1 entre a e c e x2 entre c e b com f(x1) = f(x2) = y,
novamente uma contradição, concluindo a prova.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=