[obm-l] Trigonometria III (Mr. Crowley)
Eder, voce nao pode sair supondo que tan(B+C), etc estao em P.A pois e justamente o que voce tem que provar. I) Sabendo que sen(2A), sen(2B) e sen(2C) estão em P.A., nessa ordem, demonstrar que tan(B+C), tan(C+A) e tan(A+B) também estão em P.A. nessa ordem. Resolucao: Seja (sin(2A),sin(2B),sin(2C)) uma P.A de razao r, r0, portanto, podemos escrever Sin(2B) - sin(2A) = r = 2cos(A+B).sin(B-A) (1) Sin(2C) - sin(2B) = r = 2cos(C+B).sin(C-B) (2) Sin(2C) - sin(2A) = 2r = 2cos(C+A).sin(C-A) (3) Vamos calcular as diferentas tan(A+B)-tan(C+A), tan(C+A)-tan(B+C) e tan(A+B)-tan(B+C) e ver o que elas representam: *) tan(C+A)-tan(B+C) = (sin(C+A)/cos(C+A)) (sin(B+C)/cos(B+C)) .. Isolando cos(C+A) em (3) e cos(B+C) em (2) obtemos, = sin(C+A).sin(C-A)/r (2.sin(B+C).sin(B-C))/r , use o fato de cos(p)-cos(q)=-2.sin((p+q)/2).sin((p-q)/2), logo, simplificando chegamos ao resultado, = (cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))/2r = K. *) tan(A+B)-tan(C+A) = (sin(A+B)/cos(A+B))-(sin(C+A)/cos(C+A)). Isolando as expressoes de cos(A+B) e cos(A+C) em 1 e 3, respectivamente, obtemos, = (2.sin(A+B).sin(B-A))/r (sin(C+A).sin(C-A))/r. Usando a formula de cos(p)-cos(q) do item (*) temos = (cos(2A)-cos(2B))/r (cos(2A)-cos(2C))/2r = (cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))/2r = K. Analogamente, calcule agora tan(A+B)-tan(B+C) e voce vai ver que encontrara tan(A+B)-tan(B+C) = 2K. Logo, tan(B+C),tan(C+A) e tan(A+B) estao em PA de razao K=[cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))]/2r , com r0. Leandro L. Recova
Re:[obm-l] Trigonometria III (Mr. Crowley)
Ih,desculpa,é que eu já vi uma resolução para essa questão (acho que no matemática elementar...) e está como a sua,as diferenças são verificadas para tentar se notar alguma regularidade,aí achei que se estivesse fazendo uma suposição... Eder, voce nao pode sair supondo que tan (B+C), etc estao em P.A pois e justamente o que voce tem que provar. I) Sabendo que sen(2A), sen(2B) e sen(2C) estão em P.A., nessa ordem, demonstrar que tan(B+C), tan(C+A) e tan(A+B) também estão em P.A. nessa ordem. Resolucao: Seja (sin(2A),sin(2B),sin (2C)) uma P.A de razao r, r0, portanto, podemos escrever Sin(2B) - sin(2A) = r = 2cos(A+B).sin(B-A) (1) Sin(2C) - sin(2B) = r = 2cos(C+B).sin(C-B) (2) Sin(2C) - sin(2A) = 2r = 2cos(C+A).sin(C-A)(3) Vamos calcular as diferentas tan(A+B)-tan(C+A), tan(C+A)-tan (B+C) e tan(A+B)-tan(B+C) e ver o que elas representam: *) tan(C+A)-tan(B+C) = (sin(C+A)/cos(C+A)) (sin(B+C)/cos (B+C)) .. Isolando cos(C+A) em (3) e cos(B+C) em (2) obtemos, = sin(C+A).sin(C-A)/r (2.sin(B+C).sin(B-C))/r , use o fato de cos(p)-cos(q)=-2.sin((p+q)/2).sin((p- q)/2), logo, simplificando chegamos ao resultado, = (cos(2A)+cos(2C)-2cos (2B))/2r = K. *) tan(A+B)-tan(C+A) = (sin(A+B)/cos(A+B))-(sin(C+A)/cos (C+A)). Isolando as expressoes de cos(A+B) e cos (A+C) em 1 e 3, respectivamente, obtemos, = (2.sin(A+B).sin(B-A))/r (sin(C+A).sin(C-A))/r. Usando a formula de cos(p)-cos (q) do item (*) temos = (cos(2A)-cos(2B))/r (cos (2A)-cos(2C))/2r = (cos(2A)+cos(2C)-2cos (2B))/2r = K. Analogamente, calcule agora tan(A+B)-tan (B+C) e voce vai ver que encontrara tan(A+B)-tan(B+C) = 2K. Logo, tan(B+C),tan(C+A) e tan(A+B) estao em PA de razao K=[cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))]/2r , com r0. Leandro L. Recova --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Trigonometria III (Mr. Crowley)
Olá Pessoal, Valew galera pelas ajudas! (Cláudio, Leandro, João, Bruno e Ralph) Espero que possam me ajudar nestes dois também (que me parece ser mais dificeis): I) Sabendo que sen(2A), sen(2B) e sen(2C) estão em P.A., nessa ordem, demonstrar que tan(B+C), tan(C+A) e tan(A+B) também estão em P.A. nessa ordem. II) Demonstrar que é isósceles o triângulo ABC cujos ângulos A e B verificam a equação sen(A/2) . [cos(B/2)]^3 = sen(B/2) . [cos(A/2)]^3 Gostaria de aproveitar o espaço para perguntar se alguém conhece algum site que tenha as resoluções das provas do IME. É isso aí... Grato Mr. Crowley (`-''-/).___..--''`-._ `6_ 6 ) `-. ().`-.__.`) (_Y_.)' ._ ) `._ `.``-..-' _..`--'_..-_/ /--'_.' ,' (il),-'' (li),' ((!.-' __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Trigonometria III (Mr. Crowley)
Fala Mr. Crowley... Sem querer ser grosso,apenas por curiosidade...Você pelo menos tentar resolver essas questões que você manda pra lista? Cara,se você não tentar fazer sozinho,não vai aprender nunca,não adianta ficar só lendo resoluções. Tô meio que com preguiça de escrever,então só vou te dizer pra lembrar que se sen(2A), sen(2B) e sen(2C) estão em PA,então sen(2b)=[sen(2A)+sen(2C]/2.De posse desse fato,suponha que tan(B+C), tan(C+A) e tan(A+B) também estão em P.A.,nessa ordem, ou seja, o termo intermediário é média aritmética dos termos extremos,desenvolva a expressão e preste atenção no que vc vai chegar! Para o outro,eu peguei uma resolução de alguém,por ter achado muito interessante.Juro que tentei pra caramba e não saiu.Olha só: Como isso é um triangulo, entao A+B180 graus. multiplicando a igualdade por 8cos(A/2).cos(B/2) (que é diferente de zero pois A,B 180 graus) temos : sen(A/2) . [cos(B/2)]^3 = sen(B/2) . [cos(A/2)]^3 = 2.sen(A/2) .4. [cos(B/2)]^4. cos(A/2) = 2.sen(B/2) . 4.[cos(A/2)]^4 ..cos(B/2) = lembrando que cos(2x)=cos²(x)-sen²(x)=2cos²(x)-1 = cos(2x)=2cos²(x)-1 = 2cos²(x)=cos(2x)+1, fazendo x=B/2 temos: 2cos²(B/2)=cos(B)+1 substituindo para A e B temos.. 2.sen(A/2).cos(A/2).(cos(B)+1)²=2.sen(B/2).cos(B/2).(cos(A)+1) ² = como sen(2x)=2sen(x)cos(x) , fazendo x=A/2 temos : sen(A)=2sen (A/2).cos(A/2) substituindo temos: sen(A).(cos(B)+1)²=sen(B).(cos(A)+1)² = sen(A).cos²(B)+2.sen(A).cos(B)+sen(A) = sen(B).cos²(A)+2.sen(B).cos(A)+sen(B) = sen(A).cos²(B) - sen(B).cos²(A)+2(sen(A).cos(B)-sen(B).cos(A)) +sen(A)-sen(B) = 0 = como sen(A-B)=sen(A)cos(B)-sen(B).cos(A) entao: sen(A).cos²(B) - sen(B).cos²(A)+2sen(A-B)+sen(A)-sen(B) = 0 = como cos²(x)=1-sen²(x) entao 2sen(A-B)+sen(A).(1-sen²(A))-sen(B).(1-sen²(B))+sen(A)-sen(B) =0 = 2sen(A-B)+2sen(A)-2sen(B)-(sen³(A)-sen³(B))=0 = (*) explicação deste passo no final. 2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-3sen(A).sen(B)+2-(sen(A)-sen(B))²) = 0 = 2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-3sen(A)sen(B)+2-(sen²(A)-2sen(A)sen (B)+sen²(B))) = 0 = 2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-3sen(A)sen(B)+2+2sen(A)sen(B)-1) = 0 = 2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-sen(A)sen(B)+1) = 0 suponha 0BA180 entao.. 2sen(A-B)0 (sen(A)-sen(B))0 é fácil ver que isso é verdade para A=90 se A=90+e, e0 e sen(B)=sen(A) então B=90-d, 0d=e, daí A+B=180+e-d =180, o que é absurdo.. como sen(A)sen(B)=1 entao -sen(A)sen(B)+1=0 logo, a soma 2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-sen(A)sen(B)+1) nunca pode ser zero, o que é absurdo .. pois com implicações de = a partir da hipótese chegamos que esta soma deve ser zero.. entao a hipótese de que AB é falsa.. pela simetria do problema.. BA também é falsa... então só pode ser A=B. explicação do passo (*) vou mostrar que 2x-2y - (x³-y³) = (x-y)(-3xy+2-(x-y)²) sabemos que (x-y)³=x³+3xy²-3x²y-y³ = x³-y³-3xy(x-y) = (x³-y³) = (x-y)³+3xy(x-y) = (x-y)((x-y)²+3xy) logo, 2(x-y) - (x³-y³) = (x-y)(2-(x-y)²-3xy) o que demonstra a igualdade. Falow's Eder Olá Pessoal, Valew galera pelas ajudas! (Cláudio, Leandro, João, Bruno e Ralph) Espero que possam me ajudar nestes dois também (que me parece ser mais dificeis): I) Sabendo que P.A., nessa ordem, demonstrar que tan(B+C), tan(C+A) e tan(A+B) também estão em P.A. nessa ordem. II) Demonstrar que é isósceles o triângulo ABC cujos ângulos A e B verificam a equação sen(A/2) . [cos(B/2)]^3 = sen(B/2) . [cos(A/2)]^3 Gostaria de aproveitar o espaço para perguntar se alguém conhece algum site que tenha as resoluções das provas do IME. É isso aí... Grato Mr. Crowley (`-''-/).___..--''`-._ `6_ 6 ) `-. ().`-.__.`) (_Y_.)' ._ ) `._ `.``-..-' _..`--'_..-_/ /--'_.' ,' (il),-'' (li),' ((!.-' __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a list a em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Trigonometria III (Mr. Crowley)
I) Sabendo que sen(2A), sen(2B) e sen(2C) estão em P.A., nessa ordem, demonstrar que tan(B+C), tan(C+A) e tan(A+B) também estão em P.A. nessa ordem. Resolucao: Seja (sin(2A),sin(2B),sin(2C)) uma P.A de razao r, r0, portanto, podemos escrever Sin(2B) - sin(2A) = r = 2cos(A+B).sin(B-A) (1) Sin(2C) - sin(2B) = r = 2cos(C+B).sin(C-B) (2) Sin(2C) - sin(2A) = 2r = 2cos(C+A).sin(C-A) (3) Vamos calcular as diferentas tan(A+B)-tan(C+A), tan(C+A)-tan(B+C) e tan(A+B)-tan(B+C) e ver o que elas representam: *) tan(C+A)-tan(B+C) = (sin(C+A)/cos(C+A)) (sin(B+C)/cos(B+C)) . Isolando cos(C+A) em (3) e cos(B+C) em (2) obtemos, = sin(C+A).sin(C-A)/r (2.sin(B+C).sin(B-C))/r , use o fato de cos(p)-cos(q)=-2.sin((p+q)/2).sin((p-q)/2), logo, simplificando chegamos ao resultado, = (cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))/2r = K. *) tan(A+B)-tan(C+A) = (sin(A+B)/cos(A+B))-(sin(C+A)/cos(C+A)). Isolando as expressoes de cos(A+B) e cos(A+C) em 1 e 3, respectivamente, obtemos, = (2.sin(A+B).sin(B-A))/r (sin(C+A).sin(C-A))/r. Usando a formula de cos(p)-cos(q) do item (*) temos = (cos(2A)-cos(2B))/r (cos(2A)-cos(2C))/2r = (cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))/2r = K. Analogamente, calcule agora tan(A+B)-tan(B+C) e voce vai ver que encontrara tan(A+B)-tan(B+C) = 2K. Logo, tan(B+C),tan(C+A) e tan(A+B) estao em PA de razao K=[cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))]/2r , com r0. Leandro L. Recova
Re:[obm-l] Trigonometria III (Mr. Crowley)
E aí Eder blzinha! Valew pela resolução! Eder escreveu: Sem querer ser grosso,apenas por curiosidade...Você pelo menos tentar resolver essas questões que você manda pra lista? Cara,se você não tentar fazer sozinho,não vai aprender nunca, não adianta ficar só lendo resoluções. Não só tento resolve-los como uso a seguinte estratégia: tento uns 20 minutos, se eu naum consiguir eu dou um intervalo de tempo e tento de novo... se eu naum consigo novamente ai ja deixo pra tentar no outro dia, caso eu naum consiga no outro dia aí eu ja posto para os grandes matemáticos aqui da lista hehehe. Cara esse exercício eu naum conseguiria resolver nunca. Valew Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
