Caro Paulo,
A pergunta deve ser qual é o MAIOR valor possível para s, não ? De fato,
se for mesmo o menor, a resposta é trivialmente 0. X_1 pode ser tão próximo
de 0 quanto queiramos, o que faz X_1/(1+X_1) ainda mais próximo de 0. Vamos
então mudar desse jeito o enunciado, e tentar resolver o problema.
Seja r_k=X_k/(1+X_1+X_2+...+X_k). Temos X_1=r_1/(1-r_1), e, por indução,
X_k=r_k/(1-r_1)(1-r_2)...(1-r_k), e 1+X_1+...+X_k=1/(1-r_1)(1-r_2)...(1-r_k)
para todo k=1. Assim, se r_k=s para todo k, temos que
2=1+X_1+...+X_n=1/(1-s)^n, donde 1-s=2^(-1/n), e logo s=1-2^(-1/n)=:C.
Esse é o maior valor possível de s, atingido fazendo r_k=C para todo k, e
logo X_k=C/(1-C)^k, para todo k=1. Note que, de fato, temos
X_1+X_2+...+X_n=(C/(1-C)^n).(1-(1-C)^n)/(1-(1-C))=1/(1-C)^n-1=2-1=1.
Note ainda que, se s fosse, em vez do menor, o maior desses números, e
perguntássemos pelo menor valor possível de s, a resposta seria a mesma.
Abraços,
Gugu
Ola Pessoal,
Na mensagem abaixo, na questao 3) leia-se na OBS : nao e permitido usar
CALCULO DIFERENCIAL ! Nesta mesma questão os valores continuam, isto e, s
deve ser o menor valor de :
X1/(1+X1) , X2/(1+X1+x2), X3/(1+X2+X3),..., Xi/(1+X1+...+Xi),
...,Xn/(1+X1+...+Xn)
Desculpas a todos ( e a pressa ) : !
Paulo Santa Rita
5,1052,100305
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Trivialidades Nao !
Date: Thu, 10 Mar 2005 13:18:41 +
Ola Claudio e demais colegas
desta lista ... OBM-L
Realmente : deprimente !
Esta nossa lista foi concebida originalmente como um meio informal onde
podemos discutir Problemas Olimpicos de Matematica, nao problemas triviais
de vestibulares. Existem muitissimos lugares na internet onde se pode
postar e discutir estes problemas triviais, mas pouquissimos onde se
discute problemas de Matematica Olimpica. Assim, dado a raridade e a
importancia deste nosso local, vamos todos contribuir para manter a sua
caracteristica e objetivos iniciais.
PROBLEMAS :
1) IMAGINE um quadriculado em forma de quadrado, 1000X1000, portanto com
100 quadradinhos. Usando somente os algarismos 0,1 e 2 e possivel
preencher o quadriculado de tal forma que qualquer retangulo 3x4 ( ou 4x3 )
contenha 3 algarismos zeros, 4 algarismos um e 5 algarismos dois ?
Justifique sua resposta.
2) Sejam X1, X2, ..., Xn numeros reais positivos tais que X1 + X2 + ... +
Xn =1. Seja s o menor dos numeros : X1/(1+X1) , X2/(1+X1+X2) ,
X3/(1+X1+X2+X3). Qual e o menor valor possivel para s ?
OBS : Alunos das Escolas Russas onde caiu esta questao nao sabem ou nao
podem CALCULO
3) Prove que para todos A, B e C reais positivos vale :
A^3 + B^3 + c^3 + 3ABC = AB(A+B) + BC(B+C) + AC(A+C)
Mais problemas russos em :
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr
Um Grande Abraco em todos !
Paulo Santa Rita
5,1017,100305
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
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To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Equação
Date: Thu, 10 Mar 2005 00:57:15 -0300
Nesse caso eu nao sei o que eh mais deprimente numa lista que trata de
olimpiadas de matematica: alguem escrever x^2+1/(x+1)^2 quando queria
dizer
(x^2+1)/(x+1)^2 ou alguem nao saber resolver uma misera equacao do 2o.
grau.
_
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
http://www.msn.com.br/discador
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
http://www.msn.com.br/discador
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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