Re: [obm-l] dois de geometria

[Claudio Buffara]

A solução que eu conheço é por analítica, escolhendo bem as coordenadas
(mas sem perder generalidade).

Assim, por exemplo, no das elipses, você pode tomar a equação de uma delas
como sendo:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, com a >= b > 0,
e a outra:
(x-p)^2/c^2 + (y-q)^2/d^2 = 1, com 0 < c < d.
(acima, se a = b, acabou, certo?)

Dica: o sistema de equações:
F(x,y) = 0
G(x,y) = 0
é equivalente ao sistema:
F(x,y) = 0
aF(x,y) + bG(x,y) = 0
onde a e b são números reais quaisquer e b <> 0.

[]s,
Claudio.



2018-04-07 11:10 GMT-03:00 Anderson Torres :

> Continuando...
>
> Como resolve o das cônicas? Pensei em usar geometria analítica, mas
> nenhuma ideia parece livre de contas enjoadas.
>
> O máximo que eu consigo imaginar é realizar uma translação seguida de
> uma homotetia, de tal forma que pelo menos três pontos de intersecção
> sejam pontos do círculo unitário centrado na origem, mas nenhuma conta
> parece ir muito longe.
>
> Em 5 de abril de 2018 21:53, Claudio Buffara
>  escreveu:
> > Se postou, eu não vi. Mil desculpas!
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> > 2018-04-05 21:35 GMT-03:00 Anderson Torres  >:
> >>
> >> Em 3 de abril de 2018 16:32, Claudio Buffara
> >>  escreveu:
> >> > O primeiro é reprise, pois ninguém resolveu (ainda):
> >> >
> >> > 1) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base
> quadrada e
> >> > tem
> >> > cobertura no topo e nas quatro faces.
> >> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba
> a
> >> > mesma quantidade de bolo e de cobertura.
> >> >
> >> > Dica: é relevante o fato do quadrado ser circunscritível;
> >>
> >>
> >> Mas, eu já não postei essa? A ideia é tratar o bolo como se fosse
> >> cilíndrico.
> >>
> >> Mais precisamente, marcar pontos equidistantes no perímetro do bolo e
> >> traçar raios ligando o centro do bolo até esses pontos.
> >>
> >> Sempre que existir um ponto interno ao bolo com a mesma distância de
> >> todos os lados do bolo, o problema é solúvel.
> >>
> >> >
> >> > ***
> >> >
> >> > 2) Duas elipses cujos eixos maiores são perpendiculares se intersectam
> >> > em
> >> > quatro pontos.
> >> > Prove que estes pontos pertencem a uma mesma circunferência.
> >> >
> >> > 2a) Prove que vale o mesmo se trocarmos a palavra "elipses" por
> >> > "parábolas"
> >> > e eliminarmos a palavra "maiores".
> >> >
> >> > []s,
> >> > Claudio.
> >> >
> >> >
> >> >
> >> > --
> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> > acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>  acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >> 
> =
> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >> 
> =
> >
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] dois de geometria

[Anderson Torres]

Continuando...

Como resolve o das cônicas? Pensei em usar geometria analítica, mas
nenhuma ideia parece livre de contas enjoadas.

O máximo que eu consigo imaginar é realizar uma translação seguida de
uma homotetia, de tal forma que pelo menos três pontos de intersecção
sejam pontos do círculo unitário centrado na origem, mas nenhuma conta
parece ir muito longe.

Em 5 de abril de 2018 21:53, Claudio Buffara
 escreveu:
> Se postou, eu não vi. Mil desculpas!
>
> []s,
> Claudio.
>
> 2018-04-05 21:35 GMT-03:00 Anderson Torres :
>>
>> Em 3 de abril de 2018 16:32, Claudio Buffara
>>  escreveu:
>> > O primeiro é reprise, pois ninguém resolveu (ainda):
>> >
>> > 1) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e
>> > tem
>> > cobertura no topo e nas quatro faces.
>> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
>> > mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>> >
>> > Dica: é relevante o fato do quadrado ser circunscritível;
>>
>>
>> Mas, eu já não postei essa? A ideia é tratar o bolo como se fosse
>> cilíndrico.
>>
>> Mais precisamente, marcar pontos equidistantes no perímetro do bolo e
>> traçar raios ligando o centro do bolo até esses pontos.
>>
>> Sempre que existir um ponto interno ao bolo com a mesma distância de
>> todos os lados do bolo, o problema é solúvel.
>>
>> >
>> > ***
>> >
>> > 2) Duas elipses cujos eixos maiores são perpendiculares se intersectam
>> > em
>> > quatro pontos.
>> > Prove que estes pontos pertencem a uma mesma circunferência.
>> >
>> > 2a) Prove que vale o mesmo se trocarmos a palavra "elipses" por
>> > "parábolas"
>> > e eliminarmos a palavra "maiores".
>> >
>> > []s,
>> > Claudio.
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
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> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] dois de geometria

[Claudio Buffara]

Se postou, eu não vi. Mil desculpas!

[]s,
Claudio.

2018-04-05 21:35 GMT-03:00 Anderson Torres :

> Em 3 de abril de 2018 16:32, Claudio Buffara
>  escreveu:
> > O primeiro é reprise, pois ninguém resolveu (ainda):
> >
> > 1) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e
> tem
> > cobertura no topo e nas quatro faces.
> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
> > mesma quantidade de bolo e de cobertura.
> >
> > Dica: é relevante o fato do quadrado ser circunscritível;
>
>
> Mas, eu já não postei essa? A ideia é tratar o bolo como se fosse
> cilíndrico.
>
> Mais precisamente, marcar pontos equidistantes no perímetro do bolo e
> traçar raios ligando o centro do bolo até esses pontos.
>
> Sempre que existir um ponto interno ao bolo com a mesma distância de
> todos os lados do bolo, o problema é solúvel.
>
> >
> > ***
> >
> > 2) Duas elipses cujos eixos maiores são perpendiculares se intersectam em
> > quatro pontos.
> > Prove que estes pontos pertencem a uma mesma circunferência.
> >
> > 2a) Prove que vale o mesmo se trocarmos a palavra "elipses" por
> "parábolas"
> > e eliminarmos a palavra "maiores".
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
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> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] dois de geometria

[Anderson Torres]

Em 3 de abril de 2018 16:32, Claudio Buffara
 escreveu:
> O primeiro é reprise, pois ninguém resolveu (ainda):
>
> 1) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e tem
> cobertura no topo e nas quatro faces.
> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
> mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>
> Dica: é relevante o fato do quadrado ser circunscritível;


Mas, eu já não postei essa? A ideia é tratar o bolo como se fosse cilíndrico.

Mais precisamente, marcar pontos equidistantes no perímetro do bolo e
traçar raios ligando o centro do bolo até esses pontos.

Sempre que existir um ponto interno ao bolo com a mesma distância de
todos os lados do bolo, o problema é solúvel.

>
> ***
>
> 2) Duas elipses cujos eixos maiores são perpendiculares se intersectam em
> quatro pontos.
> Prove que estes pontos pertencem a uma mesma circunferência.
>
> 2a) Prove que vale o mesmo se trocarmos a palavra "elipses" por "parábolas"
> e eliminarmos a palavra "maiores".
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] dois de geometria

[Claudio Buffara]

OK.
De fato, eu não tinha pensado nessa (afinal, quem come um bolo desse
jeito?) mas admito que é melhor do que a que usa o liquidificador.
Da próxima vez que propuser o problema, vou mencionar (e excluir) esta
solução, que é muito mais de engenharia do que de matemática.

[]s,
Claudio.

2018-04-05 11:59 GMT-03:00 Rodrigo Ângelo :

> A do Luciano foi a mesma que eu havia pensado.
>
> Como se "descascasse" o bolo e então dividisse em dois problemas: Dividir
> a cobertura (que seria um quadrado + quatro retângulos) e o bolo (um
> paralelepípedo, agora sem cobertura) entre as 7 pessoas.
>
> Cobertura: Fazer 6 cortes longitudinais igualmente espaçados no quadrado
> que era o topo do bolo e em cada um dos retângulos que eram as laterais do
> bolo.
>
> Bolo: Fazer 6 cortes longitudinais igualmente espaçados.
>
> No final, cada pessoa pega um pedaço do bolo e 5 pedaços de cobertura (1
> do topo e 1 de cada uma das 4 laterais).
>
> Não é a solução mais "matemática", mas o problema permite e é mais simples.
>
> Att,
> Rodrigo
>
> On Wed, Apr 4, 2018 at 1:40 PM Claudio Buffara 
> wrote:
>
>> Me desculpe, mas não consegui entender sua solução.
>>
>> ***
>>
>> Aqui vai a minha: divida cada lado do quadrado (topo) em 7 segmentos
>> iguais, numerando-os de 0 a 27 (0 sendo um dos vértices e prosseguindo,
>> digamos, no sentido anti-horário)
>> Os demais vértices serão 7, 14 e 21.
>>
>> Faça 28 cortes verticais, cada um deles ligando o centro P do quadrado a
>> um dos pontos numerados.
>> O bolo ficará dividido em 28 prismas triangulares, todos com o mesmo
>> volume e com a mesma área com cobertura (todos os 28 triângulos nos quais o
>> topo é decomposto têm a mesma área e as faces laterais são retângulos
>> congruentes).
>> Daí, dê 4 fatias para cada uma das 7 pessoas.
>>
>> Alternativamente, você pode fazer apenas 7 cortes, ligando P aos pontos
>> 0, 4, 8, 12, 16, 20 e 24.
>> Neste caso, o bolo ficará dividido em 7 prismas triangulares ou
>> quadrangulares (*), todos com o mesmo volume e a com mesma área coberta.
>>
>> (*) por exemplo, o prisma obtido pelos cortes P4 e P8 é quadrangular. O
>> topo é o quadrilátero P478 (o ângulo 478 é reto).
>>
>> Fica como exercício explicar porque o problema pode ser generalizado para
>> um bolo cujo topo (e a base) é qualquer polígono circunscritível.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>> 2018-04-04 1:00 GMT-03:00 luciano rodrigues :
>>
>>> Retira-se a cobertura, divide-se as faces, o topo e o bolo sem cobertura
>>> em 7,pedacos,deixando pra cada pessoa 4 pedacos de cobertura da face e
>>> 1 do topo e 1 pedaco do bolo sem cobertura.
>>>
>>> Em 3 de abr de 2018, às 16:32, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>> O primeiro é reprise, pois ninguém resolveu (ainda):
>>>
>>> 1) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada
>>> e tem cobertura no topo e nas quatro faces.
>>> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
>>> mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>>>
>>> Dica: é relevante o fato do quadrado ser circunscritível;
>>>
>>> ***
>>>
>>> 2) Duas elipses cujos eixos maiores são perpendiculares se intersectam
>>> em quatro pontos.
>>> Prove que estes pontos pertencem a uma mesma circunferência.
>>>
>>> 2a) Prove que vale o mesmo se trocarmos a palavra "elipses" por
>>> "parábolas" e eliminarmos a palavra "maiores".
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] dois de geometria

[Rodrigo Ângelo]

A do Luciano foi a mesma que eu havia pensado.

Como se "descascasse" o bolo e então dividisse em dois problemas: Dividir a
cobertura (que seria um quadrado + quatro retângulos) e o bolo (um
paralelepípedo, agora sem cobertura) entre as 7 pessoas.

Cobertura: Fazer 6 cortes longitudinais igualmente espaçados no quadrado
que era o topo do bolo e em cada um dos retângulos que eram as laterais do
bolo.

Bolo: Fazer 6 cortes longitudinais igualmente espaçados.

No final, cada pessoa pega um pedaço do bolo e 5 pedaços de cobertura (1 do
topo e 1 de cada uma das 4 laterais).

Não é a solução mais "matemática", mas o problema permite e é mais simples.

Att,
Rodrigo

On Wed, Apr 4, 2018 at 1:40 PM Claudio Buffara 
wrote:

> Me desculpe, mas não consegui entender sua solução.
>
> ***
>
> Aqui vai a minha: divida cada lado do quadrado (topo) em 7 segmentos
> iguais, numerando-os de 0 a 27 (0 sendo um dos vértices e prosseguindo,
> digamos, no sentido anti-horário)
> Os demais vértices serão 7, 14 e 21.
>
> Faça 28 cortes verticais, cada um deles ligando o centro P do quadrado a
> um dos pontos numerados.
> O bolo ficará dividido em 28 prismas triangulares, todos com o mesmo
> volume e com a mesma área com cobertura (todos os 28 triângulos nos quais o
> topo é decomposto têm a mesma área e as faces laterais são retângulos
> congruentes).
> Daí, dê 4 fatias para cada uma das 7 pessoas.
>
> Alternativamente, você pode fazer apenas 7 cortes, ligando P aos pontos 0,
> 4, 8, 12, 16, 20 e 24.
> Neste caso, o bolo ficará dividido em 7 prismas triangulares ou
> quadrangulares (*), todos com o mesmo volume e a com mesma área coberta.
>
> (*) por exemplo, o prisma obtido pelos cortes P4 e P8 é quadrangular. O
> topo é o quadrilátero P478 (o ângulo 478 é reto).
>
> Fica como exercício explicar porque o problema pode ser generalizado para
> um bolo cujo topo (e a base) é qualquer polígono circunscritível.
>
> []s,
> Claudio.
>
> 2018-04-04 1:00 GMT-03:00 luciano rodrigues :
>
>> Retira-se a cobertura, divide-se as faces, o topo e o bolo sem cobertura
>> em 7,pedacos,deixando pra cada pessoa 4 pedacos de cobertura da face e 1
>> do topo e 1 pedaco do bolo sem cobertura.
>>
>> Em 3 de abr de 2018, às 16:32, Claudio Buffara 
>> escreveu:
>>
>> O primeiro é reprise, pois ninguém resolveu (ainda):
>>
>> 1) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada
>> e tem cobertura no topo e nas quatro faces.
>> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
>> mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>>
>> Dica: é relevante o fato do quadrado ser circunscritível;
>>
>> ***
>>
>> 2) Duas elipses cujos eixos maiores são perpendiculares se intersectam
>> em quatro pontos.
>> Prove que estes pontos pertencem a uma mesma circunferência.
>>
>> 2a) Prove que vale o mesmo se trocarmos a palavra "elipses" por
>> "parábolas" e eliminarmos a palavra "maiores".
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] dois de geometria

[Claudio Buffara]

Me desculpe, mas não consegui entender sua solução.

***

Aqui vai a minha: divida cada lado do quadrado (topo) em 7 segmentos
iguais, numerando-os de 0 a 27 (0 sendo um dos vértices e prosseguindo,
digamos, no sentido anti-horário)
Os demais vértices serão 7, 14 e 21.

Faça 28 cortes verticais, cada um deles ligando o centro P do quadrado a um
dos pontos numerados.
O bolo ficará dividido em 28 prismas triangulares, todos com o mesmo volume
e com a mesma área com cobertura (todos os 28 triângulos nos quais o topo é
decomposto têm a mesma área e as faces laterais são retângulos congruentes).
Daí, dê 4 fatias para cada uma das 7 pessoas.

Alternativamente, você pode fazer apenas 7 cortes, ligando P aos pontos 0,
4, 8, 12, 16, 20 e 24.
Neste caso, o bolo ficará dividido em 7 prismas triangulares ou
quadrangulares (*), todos com o mesmo volume e a com mesma área coberta.

(*) por exemplo, o prisma obtido pelos cortes P4 e P8 é quadrangular. O
topo é o quadrilátero P478 (o ângulo 478 é reto).

Fica como exercício explicar porque o problema pode ser generalizado para
um bolo cujo topo (e a base) é qualquer polígono circunscritível.

[]s,
Claudio.

2018-04-04 1:00 GMT-03:00 luciano rodrigues :

> Retira-se a cobertura, divide-se as faces, o topo e o bolo sem cobertura
> em 7,pedacos,deixando pra cada pessoa 4 pedacos de cobertura da face e 1
> do topo e 1 pedaco do bolo sem cobertura.
>
> Em 3 de abr de 2018, às 16:32, Claudio Buffara 
> escreveu:
>
> O primeiro é reprise, pois ninguém resolveu (ainda):
>
> 1) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e
> tem cobertura no topo e nas quatro faces.
> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
> mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>
> Dica: é relevante o fato do quadrado ser circunscritível;
>
> ***
>
> 2) Duas elipses cujos eixos maiores são perpendiculares se intersectam em
> quatro pontos.
> Prove que estes pontos pertencem a uma mesma circunferência.
>
> 2a) Prove que vale o mesmo se trocarmos a palavra "elipses" por
> "parábolas" e eliminarmos a palavra "maiores".
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] dois de geometria

[luciano rodrigues]

Retira-se a cobertura, divide-se as faces, o topo e o bolo sem cobertura em 
7,pedacos,deixando pra cada pessoa 4 pedacos de cobertura da face e 1 do topo e 
1 pedaco do bolo sem cobertura.

> Em 3 de abr de 2018, às 16:32, Claudio Buffara  
> escreveu:
> 
> O primeiro é reprise, pois ninguém resolveu (ainda):
> 
> 1) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e 
> tem cobertura no topo e nas quatro faces.
> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a mesma 
> quantidade de bolo e de cobertura.
> 
> Dica: é relevante o fato do quadrado ser circunscritível;
> 
> ***
> 
> 2) Duas elipses cujos eixos maiores são perpendiculares se intersectam em 
> quatro pontos.
> Prove que estes pontos pertencem a uma mesma circunferência.
> 
> 2a) Prove que vale o mesmo se trocarmos a palavra "elipses" por "parábolas" 
> e eliminarmos a palavra "maiores".
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] dois de geometria

[Claudio Buffara]

O primeiro é reprise, pois ninguém resolveu (ainda):

1) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e
tem cobertura no topo e nas quatro faces.
Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
mesma quantidade de bolo e de cobertura.

Dica: é relevante o fato do quadrado ser circunscritível;

***

2) Duas elipses cujos eixos maiores são perpendiculares se intersectam em
quatro pontos.
Prove que estes pontos pertencem a uma mesma circunferência.

2a) Prove que vale o mesmo se trocarmos a palavra "elipses" por "parábolas"
e eliminarmos a palavra "maiores".

[]s,
Claudio.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.