RE: [obm-l] duas identidades
Sauda,c~oes, oi Bernardo, Obrigado. É verdade. E a segunda também tem um typo. O revisor da época comeu mosca. Abs, Luís Date: Tue, 21 Jan 2014 15:09:15 -0200 Subject: Re: [obm-l] duas identidades From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2014/1/21 Luís qed_te...@hotmail.com: Sauda,c~oes, Como mostrar que x^(2n) - 1 = (x^2-1)(x^(2n)+x^(2n-1)++1)=(x^2-1) X \prod_{k=1}^{n-1} (x^2 - 2x cos(k\pi/n) + 1) e x^(2n+1) = (x+1)(x^(2n)-x^(2n-1)++1)=(x+1) X \prod_{k=1}^{n} (x^2 - 2x cos((2k-1)/(2n+1)) + 1) Olhe para as raízes complexas desses polinômios, e faça pares de raízes conjugadas. Vou fazer o primeiro: x^(2n) - 1 = 0 = x = exp(2 pi i * k /2n), para k = 0, 1, 2, … (2n - 1). Separe k = 0 e k = n, que dão as raízes x = 1 e x = -1, sobram as raízes exp( +- 2 pi i * k / 2n) para k = 1, 2, … n-1 (usando que tudo é periódico módulo 2n !!). Seja w = exp(2 pi i / 2n), agrupando os fatores (x - w^k) e (x - w^(-k)) temos (x^2 - (w^k + w^(-k))x + 1) = (x^2 - 2 cos(k * 2 pi/2n) x + 1). Obs: a fatoração intermediária está errada, deveria começar em x^(2n - 2), para dar o grau certo. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] duas identidades
Sauda,c~oes, Como mostrar que x^(2n) - 1 = (x^2-1)(x^(2n)+x^(2n-1)++1)=(x^2-1) X\prod_{k=1}^{n-1} (x^2 - 2x cos(k\pi/n) + 1) e x^(2n+1) = (x+1)(x^(2n)-x^(2n-1)++1)=(x+1) X\prod_{k=1}^{n} (x^2 - 2x cos((2k-1)/(2n+1)) + 1) Fonte: Mathematics Magazine March-April 1955 p.235 Abs, Luis -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] duas identidades
2014/1/21 Luís qed_te...@hotmail.com: Sauda,c~oes, Como mostrar que x^(2n) - 1 = (x^2-1)(x^(2n)+x^(2n-1)++1)=(x^2-1) X \prod_{k=1}^{n-1} (x^2 - 2x cos(k\pi/n) + 1) e x^(2n+1) = (x+1)(x^(2n)-x^(2n-1)++1)=(x+1) X \prod_{k=1}^{n} (x^2 - 2x cos((2k-1)/(2n+1)) + 1) Olhe para as raízes complexas desses polinômios, e faça pares de raízes conjugadas. Vou fazer o primeiro: x^(2n) - 1 = 0 = x = exp(2 pi i * k /2n), para k = 0, 1, 2, … (2n - 1). Separe k = 0 e k = n, que dão as raízes x = 1 e x = -1, sobram as raízes exp( +- 2 pi i * k / 2n) para k = 1, 2, … n-1 (usando que tudo é periódico módulo 2n !!). Seja w = exp(2 pi i / 2n), agrupando os fatores (x - w^k) e (x - w^(-k)) temos (x^2 - (w^k + w^(-k))x + 1) = (x^2 - 2 cos(k * 2 pi/2n) x + 1). Obs: a fatoração intermediária está errada, deveria começar em x^(2n - 2), para dar o grau certo. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =